2008-重庆卷文-14 填-分数指数幂化简

本题导读

$(2x^{\frac{1}{4}}{)}^2-(3^{\frac{3}{2}}{)}^2=4x^{\frac{1}{2}}-27$；$4x^{-\frac{1}{2}}(x-x^{\frac{1}{2}})=4x^{\frac{1}{2}}-4$；相减得 $-23$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)）

若 $x>0$，则 $\left(2x^{\frac{1}{4}}+3^{\frac{3}{2}}\right)\left(2x^{\frac{1}{4}}-3^{\frac{3}{2}}\right)-4x^{-\frac{1}{2}}\left(x-x^{\frac{1}{2}}\right)=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

平方差消去含 $x$ 的主部：$(2x^{\frac{1}{4}}{)}^2=4x^{\frac{1}{2}}$、$(3^{\frac{3}{2}}{)}^2=3^3=27$；负指数幂按 $x^{-\frac{1}{2}}\cdot x=x^{\frac{1}{2}}$、$x^{-\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=1$ 逐项展开.

✅【答案】

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$-23$

✍【详细解析】

Abstract

由平方差公式，$\left(2x^{\frac{1}{4}}+3^{\frac{3}{2}}\right)\left(2x^{\frac{1}{4}}-3^{\frac{3}{2}}\right)={\left(2x^{\frac{1}{4}}\right)}^2-{\left(3^{\frac{3}{2}}\right)}^2=4x^{\frac{1}{2}}-27$．又 $4x^{-\frac{1}{2}}\left(x-x^{\frac{1}{2}}\right)=4x^{\frac{1}{2}}-4$．故原式 $=\left(4x^{\frac{1}{2}}-27\right)-\left(4x^{\frac{1}{2}}-4\right)=-23$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分数指数幂的化简

核心方法：平方差公式处理括号积，负指数幂按同底相乘逐项展开

避坑指南：${\left(3^{\frac{3}{2}}\right)}^2=3^3=27$ 别算成 $3^{\frac{3}{2}\times 2}=3^3$ 之外的值；$x^{-\frac{1}{2}}\cdot x=x^{\frac{1}{2}}$，负指数是倒数不是变号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分数指数幂化简，运算基本功

结论推广：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 在指数式上同样适用；$x^{\alpha }{x}^{\beta }=x^{\alpha +\beta }$

方法推广：括号积先用乘法公式，剩余项分配展开后多数会相消，别急着展开全式

🔗【关联脉络】

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