2008-重庆卷文-16 填-三棱台染色计数

本题导读

顶、底各是三边两两相邻的三角形：$3!\times 3!=36$；侧棱三对”$A$ 与 $A_1$、$B$ 与 $B_1$、$C$ 与 $C_1$“全不同色：对应 3 元错排 $D_3=2$，共 $6\times 2=12$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 某人有 3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 6 个点 $A$，$B$，$C$，$A_1$，$B_1$，$C_1$ 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有　　　种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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图中 9 条线段构成三棱台框架：顶面 $△ABC$、底面 $△A_1{B}_1{C}_1$各自三边两两相邻，各自必须三色全用；三条侧棱再要求上下对应点异色，即底面颜色序列是顶面的错排.

✅【答案】

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$12$

✍【详细解析】

Abstract

图中线段构成三棱台 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的 9 条棱：顶面三角形 $ABC$ 的三边、底面三角形 $A_1{B}_1{C}_1$ 的三边，以及侧棱 $A{A}_1$、$B{B}_1$、$C{C}_1$．顶面三角形三边两两相邻，三个顶点必须用三种不同颜色，有 $3!=6$ 种染法．底面三角形同理三色全用，也有 $3!=6$ 种染法，但侧棱要求 $A_1\ne A$、$B_1\ne B$、$C_1\ne C$，即底面三色的排列是顶面排列的错排，3 元错排数 $D_3=2$．故不同的安装方法共有 $6\times 2=12$ 种.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱台框架的染色计数

核心方法：顶、底三角形各自三色全用，侧棱约束给错排 $D_3=2$

避坑指南：底面不是与顶面独立：三对对应点全要异色，3 元错排只有 $(2,3,1)$ 与 $(3,1,2)$ 两种，数成 3 或 6 都会错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何框架染色问题，排列组合的高阶小题

结论推广：三角形面三顶点必三色全用：$3!$；侧棱异色约束给错排 $D_3=2$

方法推广：染色题先找”必全用色”的完全子图（三角形），再处理剩余约束；错排数 $D_3=2$、$D_4=9$ 值得记住

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷理-16
• 2008-大纲卷I理-12
• 2003-全国卷理-15