2007-安徽卷文-14 填-正方体棱平行概率

本题导读

本题考查古典概型，以及组合数。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正方体 $12$ 条棱，任选两条 ${\mathrm{C}}_{12}^2=66$ 对。
2. 平行的棱按方向分三组，每组 $4$ 条，组内 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 对平行。
3. $P=\frac{3\times 6}{66}=\frac{3}{11}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{3}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

正方体共有 $12$ 条棱，任意选择两条有 ${\mathrm{C}}_{12}^2=66$ 种等可能选法． 平行的棱按方向分为三组（每组 $4$ 条互相平行），每组内任取两条都平行，有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 对，共 $3\times 6=18$ 对． 所以所求概率为 $\frac{18}{66}=\frac{3}{11}$． （易错点：每组的 4 条棱两两平行，是 ${\mathrm{C}}_4^2$ 对而不是 $4$ 对；相交与异面的棱不计入。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体棱平行概率

核心方法：总 ${\mathrm{C}}_{12}^2$，平行对 $3\times {\mathrm{C}}_4^2$（三个方向各 4 条棱）

避坑指南：每组 4 条棱两两平行是 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 对；相交与异面棱不计入

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与空间图形结合的计数题

结论推广：正方体的棱、面对角线、体对角线的平行/垂直/异面关系是计数题素材库

方法推广：升级：选两条面对角线平行的概率（$\frac{3}{{\mathrm{C}}_{12}^2}$ 型不同基数）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2013-新课标I卷理-03 单-分层抽样
• 2008-重庆卷文-16 填-三棱台染色计数
• 2007-江苏卷-12 填-分类计数选修方案
• 2008-重庆卷文-05 单-分层抽样辨识