2008-重庆卷文-17 解-余弦定理角与恒等变换

本题导读

(1)$\cos A=\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$A=\frac{\pi }{6}$；(2)原式 $=\sin B\cos C+\cos B\sin C=\sin (B+C)=\sin A=\frac{1}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$．已知 $b^2+c^2=a^2+\sqrt{3}bc$．

(1)求 $A$ 的大小；

(2)求 $2\sin B\cos C-\sin (B-C)$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1)边的关系直接对接余弦定理：$b^2+c^2-a^2=\sqrt{3}bc$ 除以 $2bc$. (2)不必求 $B$、$C$ 具体值：展开 $\sin (B-C)$ 后一半与首项相消，剩下的正是和角公式 $\sin (B+C)$，而 $B+C=\pi -A$.

✅【答案】

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(1)$A=\frac{\pi }{6}$；(2)$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $b^2+c^2=a^2+\sqrt{3}bc$，得 $b^2+c^2-a^2=\sqrt{3}bc$．由余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．因为 $0<A<\pi$，所以 $A=\frac{\pi }{6}$. (2)$2\sin B\cos C-\sin (B-C)=2\sin B\cos C-(\sin B\cos C-\cos B\sin C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C=\sin (B+C)$．又 $B+C=\pi -A=\frac{5\pi }{6}$，所以原式 $=\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与和差角恒等变换

核心方法：$b^2+c^2-a^2=\sqrt{3}bc$ 一步得 $\cos A$；展开 $\sin (B-C)$ 后合并为 $\sin (B+C)$

避坑指南：$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 有两解但 $A\in (0,\pi )$ 只取 $\frac{\pi }{6}$；第二问不必解出 $B$、$C$，恒等变形直接对接内角和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形 + 恒等变换的组合，解答题第一题的骨架

结论推广：$b^2+c^2-a^2=kbc$ 型直接读出 $\cos A=\frac{k}{2}$

方法推广：$\sin (B+C)=\sin (\pi -A)=\sin A$ 是解三角形高频收口；能恒等变形就不解具体角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷理-17
• 2015-重庆卷理-13 填-正弦定理
• 2015-重庆卷文-13 填-解三角形