2007-福建卷文-17 解-两角和与正弦定理

本题导读

本题考查两角和的正切公式。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\tan A=\frac{1}{4}$，$\tan B=\frac{3}{5}$. （1）求角 $C$ 的大小. （2）若 $AB$ 边的长为 $\sqrt{17}$，求 $BC$ 边的长.

🔍【思路分析】

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1. （1）$\tan C=-\tan (A+B)$，代入和角公式；注意 $A+B$ 为锐角，$C$ 为钝角。
2. （2）由 $\tan A$ 求 $\sin A=\frac{\tan A}{\sqrt{1+{\tan }^{2}A}}$。
3. 正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$。

✅【答案】

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（1）$C=135^{\circ }$（即 $\frac{3\pi }{4}$）；（2）$BC=\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$A$，$B$ 为三角形内角且 $\tan A>0$，$\tan B>0$，故 $A$，$B$ 均为锐角． $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{5}}=\frac{\frac{17}{20}}{\frac{17}{20}}=1$． 又 $0<A+B<\pi$ 且 $\tan (A+B)=1>0$，故 $A+B=\frac{\pi }{4}$，从而 $C=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$，即 $C=135^{\circ }$． （2）由 $\tan A=\frac{1}{4}$ 且 $A$ 为锐角，$\sin A=\frac{\tan A}{\sqrt{1+{\tan }^{2}A}}=\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{1+\frac{1}{16}}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$． $\sin C=\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$． 由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$，得 $BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}=\sqrt{17}\cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和与正弦定理

核心方法：$\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$；$\sin A=\frac{\tan A}{\sqrt{1+{\tan }^{2}A}}$

避坑指南：$\tan C=-\tan (A+B)$ 负号易漏；$A+B$ 范围判断决定 $C$ 的取值；正弦定理边角对应别错位

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两角和正切与正弦定理解三角形，标准解三角形大题

结论推广：推广：知两角正切可求第三角；再知一边可用正弦定理求其余

方法推广：解三角形流程：角的关系 → 边的关系；$\tan A$ 求 $\sin A$ 用商数关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2008-江西卷文-17 解-两角和正切与最值
• 2008-重庆卷文-17 解-余弦定理角与恒等变换
• 2007-大纲卷I文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2007-上海卷文-17 解-解三角形面积