2008-重庆卷文-20 解-二面角射影与异面角

本题导读

设 $A^{\prime }=(0,0,0)$，$A=(0,3,0)$，$B^{\prime }=(t,0,0)$，$B=(t,-1,\sqrt{3})$；$|\overrightarrow{AB}{|}^2=t^2+19=25$ 得 $t=\sqrt{6}$；$\cos ⟨l,\overrightarrow{AB}⟩=\frac{\sqrt{6}}{5}$，所成角 $\arcsin \frac{\sqrt{19}}{5}$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)）

如图，$\alpha$ 和 $\beta$ 为平面，$\alpha \cap \beta =l$，$A\in \alpha$，$B\in \beta$，$AB=5$，$A$，$B$ 在棱 $l$ 上的射影分别为 $A^{\prime }$，$B^{\prime }$，$A{A}^{\prime }=3$，$B{B}^{\prime }=2$．若二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小为 $\frac{2\pi }{3}$，

(1)求点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离；

(2)求异面直线 $l$ 与 $AB$ 所成的角.（用反三角函数表示）

🔍【思路分析】

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(1)$B{B}^{\prime }\perp l$ 且在 $\beta$ 内，它与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$，垂线段 $=B{B}^{\prime }\sin \frac{\pi }{3}$.

(2)以 $l$ 为 $x$ 轴建系，二面角 $120^{\circ }$ 给出 $B$ 的纵、竖坐标；$AB=5$ 定出 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 间距，异面直线角取方向向量夹角的最小角.

✅【答案】

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(1)$\sqrt{3}$；(2)$\arcsin \frac{\sqrt{19}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$B{B}^{\prime }\perp l$，$B{B}^{\prime }\subset \beta$，二面角 $\alpha -l-\beta$ 为 $\frac{2\pi }{3}$，故 $B{B}^{\prime }$ 与平面 $\alpha$ 内垂直于 $l$ 的方向所成角为 $\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$，即 $B{B}^{\prime }$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\frac{\pi }{3}$．所以点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $B{B}^{\prime }\cdot \sin \frac{\pi }{3}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

(2)以 $A^{\prime }$ 为原点，$l$ 为 $x$ 轴，平面 $\alpha$ 内垂直于 $l$ 的直线为 $y$ 轴建立空间直角坐标系．则 $A^{\prime }=(0,0,0)$，$A=(0,3,0)$，设 $B^{\prime }=(t,0,0)$．$\beta$ 内从 $l$ 出发垂直于 $l$ 且指向 $\beta$ 内部的单位向量为$\left(0,\cos \frac{2\pi }{3},\sin \frac{2\pi }{3}\right)=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，故 $B=B^{\prime }+2\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=(t,-1,\sqrt{3})$．由 $AB=5$：$t^2+(3+1{)}^2+3=25$，得 $t^2=6$，$t=\sqrt{6}$．取 $l$ 的方向向量 $\vec{u}=(1,0,0)$，$\cos ⟨\vec{u},\overrightarrow{AB}⟩=\frac{|\sqrt{6}|}{5}=\frac{\sqrt{6}}{5}$，故异面直线 $l$ 与 $AB$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{5}$，所成角为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{5}=\arcsin \frac{\sqrt{19}}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角中的射影与空间角

核心方法：建系：$l$ 为 $x$ 轴、$\alpha$ 为坐标面，二面角给出 $\beta$ 内法向倾斜

避坑指南：$B{B}^{\prime }$ 与平面 $\alpha$ 所成角是 $\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$，别直接用 $\frac{2\pi }{3}$ 的正弦（数值相同但几何意义要写对）；异面直线角取方向向量夹角中的锐角（或直角）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角背景下的距离与异面角，立体几何向量法代表题

结论推广：二面角 $\theta$ 给出面内垂线方向的倾斜：坐标分量 $(\cos \theta ,\sin \theta )$

方法推广：建系选”棱为轴、一平面为坐标面”，另一个平面由二面角逐分量写出；异面直线角用方向向量，结果用反三角表示时注意锐角范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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