2008-重庆卷理-03 单-圆

本题导读

本题考查平面解析几何中两圆位置关系的判定，通过化标准方程求出圆心与半径进行定量计算。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 圆 $O_1:x^2+y^2-2x=0$ 和圆 $O_2:x^2+y^2-4y=0$ 的位置关系是 ()

A. 相离　　　　　B. 相交　　　　　C. 外切　　　　　D. 内切

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将两圆的一般方程配方化为标准方程，确定圆心坐标和半径大小。
2. 计算两圆心之间的距离 $d$，比对 $d$ 与 $|r_1-r_2|$ 及 $r_1+r_2$ 的大小关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将圆 $O_1$ 的方程配方得：$(x-1{)}^2+y^2=1$，得圆心 $O_1(1,0)$，半径 $r_1=1$。 将圆 $O_2$ 的方程配方得：$x^2+(y-2{)}^2=4$，得圆心 $O_2(0,2)$，半径 $r_2=2$。 计算圆心距 $d=|O_1{O}_2|=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{5}$。 因为 $|r_1-r_2|=|1-2|=1$，$r_1+r_2=1+2=3$， 显然 $1<\sqrt{5}<3$，即 $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$， 所以两圆的位置关系是相交。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程与标准方程的转化，两圆位置关系的代数与几何判别。
2. 核心方法：几何法，即比较圆心距 $d$ 与 $r_1\pm r_2$ 的大小。
3. 避坑指南：注意两圆半径不相等，比较时需要处理半径的差与和两个临界值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何基础题，直接考查圆与圆的位置关系判定定理。
2. 结论推广：两圆 $x^2+y^2-2ax=0$ 与 $x^2+y^2-2by=0$ 的圆心距为 $\sqrt{a^2+b^2}$，半径分别为 $|a|$ 和 $|b|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷理-04 单-圆的标准方程
• 2010-新课标卷理-15 填-圆的标准方程
• 2010-山东卷理-16 填-圆的标准方程