2010-山东卷理-16 填-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的几何性质（圆心在坐标轴上、弦长公式）确定圆心坐标，进而求出过圆心且与已知直线垂直的直线方程。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 已知圆 $C$ 过点 $(1,0)$，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $l:y=x-1$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为 $2\sqrt{2}$，则过圆心且与直线 $l$ 垂直的直线的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心坐标为 $C(a,0)(a>0)$。由圆过点 $(1,0)$ 可得半径 $R=|a-1|=a-1$（根据 $a>1$）。
2. 计算圆心 $C(a,0)$ 到直线 $l:x-y-1=0$ 的距离 $d=\frac{|a-0-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{a-1}{\sqrt{2}}$。
3. 利用垂径定理勾股关系 $d^2+{\left(\frac{\text{弦长}}{2}\right)}^2=R^2$ 求出 $a$。
4. 求出过圆心 $C(a,0)$ 且与斜率为 $1$ 的直线 $l$ 垂直（斜率为 $-1$）的直线方程。

✅【答案】

点击查看答案

$x+y-3=0$

✍【详细解析】

Abstract

步骤一：求圆心 $C$ 的坐标与半径 $R$ 设圆心 $C$ 的坐标为 $(a,0)$，其中 $a>0$。 因为圆 $C$ 过点 $(1,0)$，所以圆 $C$ 的半径为： $R=|a-1|$

步骤二：利用弦长求圆心坐标 $a$ 直线 $l$ 的一般式方程为 $x-y-1=0$。 圆心 $C(a,0)$ 到直线 $l$ 的距离为： $d=\frac{|a-0-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$

已知弦长为 $2\sqrt{2}$，由垂径定理得半弦长为 $\sqrt{2}$。 根据勾股定理 $d^2+(\text{半弦长}{)}^2=R^2$： ${\left(\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}\right)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=|a-1{|}^2$ $\frac{(a-1{)}^2}{2}+2=(a-1{)}^2$ $\frac{(a-1{)}^2}{2}=2⟹(a-1{)}^2=4$

解得 $a-1=2$ 或 $a-1=-2$。

• 若 $a-1=2⟹a=3$（符合 $a>0$）；
• 若 $a-1=-2⟹a=-1$（与“圆心在 $x$ 轴正半轴”矛盾，舍去）。

故圆心坐标为 $C(3,0)$。

步骤三：求过圆心且垂直于直线 $l$ 的直线方程 直线 $l:y=x-1$ 的斜率为 $k_1=1$。 所求直线与 $l$ 垂直，故其斜率为 $k_2=-1$。

过点 $C(3,0)$，由点斜式写出方程： $y-0=-1\cdot (x-3)⟹y=-x+3\text{或 }x+y-3=0$

故答案为：$x+y-3=0$（或 $y=-x+3$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的弦长公式 $R^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$ 与垂直直线斜率关系 $k_1{k}_2=-1$。
2. 核心方法：几何法求圆心坐标 $\to$ 点斜式求直线方程。
3. 避坑指南：注意“圆心在正半轴”限制条件，舍去 $a=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何几何法解圆问题经典试题。
2. 结论推广：圆心到直线的距离与半径成固定比例 $\frac{d}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，被截弦长恰为正交弦。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$x+y-3=0$

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程