2008-重庆卷理-12 填-数列

本题导读

本题考查分段函数在特殊点连续的充要条件以及代数式数列极限的常规求法。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+3& (\text{当 }x\ne 0\text{ 时})\\ a& (\text{当 }x=0\text{ 时})\end{array}$ 在点 $x=0$处连续，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a{n}^2+1}{a^2{n}^2+n}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用函数在 $x=0$ 处连续的定义，即 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)$，求出常数 $a$ 的值。
2. 将 $a$ 的值代入后面的数列极限表达式中，分子分母同除以最高次幂 $n^2$ 求出极限。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续， 所以 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)$。 即 ${\lim }_{x\to 0}(2x+3)=a\Rightarrow a=3$。 将 $a=3$ 代入所求极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3n^2+1}{3^2{n}^2+n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{3n^2+1}{9n^2+n}$ 分子分母同时除以 $n^2$ 得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3+\frac{1}{n^2}}{9+\frac{1}{n}}=\frac{3+0}{9+0}=\frac{1}{3}$ 故答案为 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数连续性的极限表达；多项式分式数列的无穷大极限性质。
2. 核心方法：通过最高次项系数直接判定无穷大比值极限。
3. 避坑指南：注意分母中 $a^2$ 的计算，不要误把 $a^2{n}^2$ 算成 $3n^2$，应为 $9n^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：融合了微积分初步中函数连续与数列极限两大基础板块。
2. 结论推广：若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a{n}^2+b}{c{n}^2+dn}=\frac{a}{c}(c\ne 0)$，分式极限由最高次项的系数决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-09 单-取整函数数列
• 2010-浙江卷文-21 解-三次函数与等差数列
• 2012-四川卷理-12 单-等差数列与函数