2008-重庆卷理-20 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义以及利用导数研究复合函数的单调性。解题核心在于由切线斜率确定参数关系，并通过二次函数最值确定函数解析式，最后利用导数判定单调区间。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 设函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$，曲线 $y=f(x)$ 通过点 $(0,2a+3)$，且在点 $(-1,f(-1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴.

(1) 用 $a$ 分别表示 $b$ 和 $c$；

(2) 当 $bc$ 取得最小值时，求函数 $g(x)=-f(x){\text{e}}^{-x}$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：将已知点 $(0,2a+3)$ 代入函数方程求出 $c$；对 $f(x)$ 求导，利用切线垂直于 $y$ 轴可知切线斜率为 0，即 $f^{\prime }(-1)=0$，从而求出 $b$。
2. 第(2)问：将 $b,c$ 的表达式代入 $bc$ 中构建关于 $a$ 的二次函数，求出使 $bc$ 最小的 $a$ 值。确定 $f(x)$ 的具体解析式后代入 $g(x)$，对其求导并讨论导数的正负，得出单调区间。

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函数 $g(x)$ 的单调递增区间为 $[-2,2]$；单调递减区间为 $(-\infty ,-2]$ 和 $[2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为曲线 $y=f(x)$ 通过点 $(0,2a+3)$， 所以 $f(0)=c=2a+3$。 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=2ax+b$。 因为在点 $(-1,f(-1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴，即该切线水平，斜率为 0， 所以 $f^{\prime }(-1)=-2a+b=0\Rightarrow b=2a$。 综上所述，$b=2a$，$c=2a+3$。

(2) 由(1)可得： $bc=2a(2a+3)=4a^2+6a=4{\left(a+\frac{3}{4}\right)}^2-\frac{9}{4}$ 当 $a=-\frac{3}{4}$（此时 $a\ne 0$ 满足条件）时，$bc$ 取得最小值。 此时，$b=2\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{2}$， $c=2\times \left(-\frac{3}{4}\right)+3=\frac{3}{2}$。 所以 $f(x)=-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$。 从而 $g(x)=-f(x){\text{e}}^{-x}=\left(\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\right){\text{e}}^{-x}$。

对 $g(x)$ 求导得： $g^{\prime }(x)=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\right){\text{e}}^{-x}-\left(\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\right){\text{e}}^{-x}$ $g^{\prime }(x)=\left(-\frac{3}{4}{x}^2+3\right){\text{e}}^{-x}=-\frac{3}{4}(x^2-4){\text{e}}^{-x}$ 因为 ${\text{e}}^{-x}>0$ 恒成立，令 $g^{\prime }(x)=0$ 解得 $x=2$ 或 $x=-2$。 当 $x\in (-\infty ,-2)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减； 当 $x\in (-2,2)$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增； 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减。 综上所述： 函数 $g(x)$ 的单调递增区间为 $[-2,2]$； 单调递减区间为 $(-\infty ,-2]$ 和 $[2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义的转化（切线水平即导数为0）、乘积形式复合函数的导数计算。
2. 核心方法：配方法求二次函数最值，导数符号判定函数单调性。
3. 避坑指南：在对 $g(x)$ 求导时，注意由于 ${\text{e}}^{-x}$ 的复合求导会产生一个负号，需严格执行乘积求导法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，避免符号弄错导致后续因式分解失败。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的导数应用题，由教材中多项式与指数函数乘积的求导训练题延伸而来。
2. 结论推广：对于形如 $g(x)=P(x){\text{e}}^{-x}$ 的函数（其中 $P(x)$ 为多项式），其导数恒满足 $g^{\prime }(x)=[P^{\prime }(x)-P(x)]{\text{e}}^{-x}$，其单调性关键取决于多项式 $P^{\prime }(x)-P(x)$ 的根的分布。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值