2008-陕西卷文-11 单-抽象函数赋值求值

本题导读

$f(0)=0$；$0=f(0)=f(1)+f(-1)-2$ 得 $f(-1)=0$；$f(-2)=2f(-1)+2=2$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$（$x$，$y\in \mathbf{R}$），$f(1)=2$，则 $f(-2)$ 等于()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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要求 $f(-2)$，倒推赋值链：先凑 $f(-1)$，再定 $f(0)$；$2xy$ 项在 $x=y=-1$ 时为 $+2$，别漏.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=1$，$y=0$：$f(1)=f(1)+f(0)+0$，得 $f(0)=0$． 令 $x=1$，$y=-1$：$f(0)=f(1)+f(-1)+2\times 1\times (-1)$，即 $0=2+f(-1)-2$，得 $f(-1)=0$． 令 $x=y=-1$：$f(-2)=f(-1)+f(-1)+2\times (-1)\times (-1)=0+0+2=2$．故选 A （背景：$f(x)=x^2+x$ 满足全部条件，$f(-2)=4-2=2$，可作验算.）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数的赋值技巧

核心方法：特殊值链：$y=0$ 定 $f(0)$，$x+y$ 凑已知点转移，$x=y$ 得倍点

避坑指南：赋值目标要倒着规划：要求 $f(-2)$，先凑 $f(-1)$，再定 $f(0)$；$2xy$ 项在 $x$、$y$ 同号时为正、异号时为负，符号别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材函数概念章节的抽象函数背景题，原型 $f(x)=x^2+x$

结论推广：满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$ 且 $f(1)=2$ 的函数即 $f(x)=x^2+x$，可代入检验

方法推广：抽象函数求值一律”要什么凑什么”：以目标点为终点倒推赋值链；求出后可设特殊函数（如二次函数）验算防错

🔗【关联脉络】

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