2014-陕西卷理-07 单-抽象函数

本题导读

本题考查抽象函数方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 的识别以及基本初等函数的单调性判断。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 下列函数中，满足“$f(x+y)=f(x)f(y)$”的单调递增函数是()

A. $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$　　　B. $f(x)=x^3$　　　C. $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$　　　D. $f(x)=3^x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解函数方程：方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 是指数函数的基本特征性质（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）。
2. 筛选函数类型：
   • 选项 (A) 和 (B) 为幂函数，不满足该指数性质。
   • 选项 (C) 和 (D) 为指数函数，满足该性质。
3. 判定单调性：在满足条件的指数函数中，根据底数 $a$ 与 $1$ 的大小关系确定单调递增的函数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证函数方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$

• 对于 (A) $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$：$f(x+y)=(x+y{)}^{\frac{1}{2}}$，而 $f(x)f(y)=x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}=(xy{)}^{\frac{1}{2}}$。可知 $(x+y{)}^{\frac{1}{2}}\ne (xy{)}^{\frac{1}{2}}$，不满足。
• 对于 (B) $f(x)=x^3$：$f(x+y)=(x+y{)}^3$，而 $f(x)f(y)=x^3{y}^3=(xy{)}^3$。可知 $(x+y{)}^3\ne (xy{)}^3$（如 $x=1,y=1$ 时，$8\ne 1$），不满足。
• 对于 (C) $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$：$f(x+y)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+y}$，$f(x)f(y)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+y}$。满足。
• 对于 (D) $f(x)=3^x$：$f(x+y)=3^{x+y}$，$f(x)f(y)=3^x\cdot 3^y=3^{x+y}$。满足。

第二步：判断单调性

• 对于 (C) $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$，底数 $a=\frac{1}{2}\in (0,1)$，该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，不符合题意。
• 对于 (D) $f(x)=3^x$，底数 $a=3>1$，该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，符合题意。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四种常见抽象函数方程对应的模型： - $f(x+y)=f(x)+f(y)⟹$ 正比例函数 $f(x)=kx$ - $f(x+y)=f(x)f(y)⟹$ 指数函数 $f(x)=a^x$ - $f(xy)=f(x)+f(y)⟹$ 对数函数 $f(x)={\log }_{a}x$ - $f(xy)=f(x)f(y)⟹$ 幂函数 $f(x)=x^n$

2. 核心方法：熟记基本初等函数的性质。指数函数的增减性完全由底数 $a$ 决定。

3. 避坑指南：不要混淆幂函数和指数函数。幂函数是底数变、指数定；指数函数是底数定、指数变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的奇偶性（指数函数通常不具奇偶性）、指数幂的运算性质。

2. 结论推广: 满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 的函数统称为指数型抽象函数，若还满足 $f(1)=3$，则 $f(x)=3^x$。

3. 方法推广: 熟记基本初等函数的性质。指数函数的增减性完全由底数 $a$ 决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-11 多-抽象函数
• 2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期
• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象