2008-陕西卷文-15 填-向量命题真伪

本题导读

①取 $a=(1,0)$、$b=(0,1)$、$c=(0,2)$ 即反例，假；②$1\times 6-(-2)k=0$ 得 $k=-3$，真；③由 $|a-b|=|a|$ 得 $a\cdot b=\frac{|a{|}^2}{2}$，$a$ 与 $a+b$ 的夹角余弦为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，夹角 $30^{\circ }\ne 60^{\circ }$，假.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 关于平面向量 $a$，$b$，$c$，有下列三个命题： ①若 $a\cdot b=a\cdot c$，则 $b=c$； ②若 $a=(1,k)$，$b=(-2,6)$，$a\parallel b$，则 $k=-3$； ③非零向量 $a$ 和 $b$ 满足 $|a|=|b|=|a-b|$，则 $a$ 与 $a+b$ 的夹角为 $60^{\circ }$． 其中真命题的序号为　　　.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

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①的数量积等式两边同含 $a$，消不去，找垂直反例；②直接套共线坐标公式；③把 $|a|=|b|=|a-b|$ 全部平方转成数量积，先定 $a$ 与 $b$ 的夹角，再算 $a$ 与 $a+b$ 的夹角.

✅【答案】

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②

✍【详细解析】

Abstract

①由 $a\cdot b=a\cdot c$ 得 $a\cdot (b-c)=0$，只要求 $a$ 垂直于 $b-c$，$b$ 与 $c$ 未必相等．反例：$a=(1,0)$，$b=(0,1)$，$c=(0,2)$，此时 $a\cdot b=0=a\cdot c$ 但 $b\ne c$，①假． ②由 $a\parallel b$，$1\times 6-k\times (-2)=0$，即 $6+2k=0$，$k=-3$，②真． ③设 $|a|=|b|=r$．由 $|a-b|=r$，$|a-b{|}^2=|a{|}^2+|b{|}^2-2a\cdot b=r^2$，得 $a\cdot b=\frac{r^2}{2}$．而 $|a+b|=\sqrt{2r^2+2a\cdot b}=\sqrt{3}r$，$a$ 与 $a+b$ 的夹角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{a\cdot (a+b)}{|a||a+b|}=\frac{r^2+\frac{r^2}{2}}{r\cdot \sqrt{3}r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\theta =30^{\circ }\ne 60^{\circ }$，③假． 综上，真命题只有②.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量命题的真假判断

核心方法：①用反例否定；②用共线充要条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 列方程；③用数量积算夹角

避坑指南：$a\cdot b=a\cdot c$ 中的 $a$ 不能随意约去；$|a|=|b|=|a-b|$ 给出 $a$ 与 $b$ 夹角 $60^{\circ }$，但 $a$ 与 $a+b$ 的夹角是 $30^{\circ }$，别张冠李戴

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材平面向量数量积性质与共线条件的综合辨析

结论推广：$a\parallel b\iff x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$；$|a|=|b|=|a-b|$ 的几何原型是以 $a$、$b$ 为边的等边三角形

方法推广：向量命题判断三板斧：反例否定、坐标运算验证、数量积算角度；“等边三角形”模型可快速复算夹角结论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-15
• 2007-陕西卷理-15 填-向量数量积运算
• 2013-陕西卷理-03 单-向量数量积