2008-陕西卷理-05 单-圆

本题导读

本题考查圆的方程与性质、直线与圆的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 直线 $\sqrt{3}x-y+m=0$ 与圆 $x^2+y^2-2x-2=0$ 相切，则实数 $m$ 等于 ()

A. $\sqrt{3}$ 或 $-\sqrt{3}$　　　B. $-\sqrt{3}$ 或 $3\sqrt{3}$　　　C. $-3\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$　　　D. $-3\sqrt{3}$ 或 $3\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：将圆的通用方程通过配方法化为标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$，提取出圆心坐标和半径大小。
2. 第二步逻辑：由于直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$，令 $d=R$ 建立关于 $m$ 的绝对值方程并求解。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程 $x^2+y^2-2x-2=0$ 配方得： $(x-1{)}^2+y^2=3$ 则该圆的圆心为 $C(1,0)$，半径 $R=\sqrt{3}$。 因为直线 $\sqrt{3}x-y+m=0$ 与圆相切， 所以圆心 $C(1,0)$ 到直线的距离 $d$ 等于半径 $R$，即： $d=\frac{|\sqrt{3}\times 1-0+m|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{|\sqrt{3}+m|}{2}=\sqrt{3}$ 解得 $|\sqrt{3}+m|=2\sqrt{3}$。 由此可得 $\sqrt{3}+m=2\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}+m=-2\sqrt{3}$， 解得 $m=\sqrt{3}$ 或 $m=-3\sqrt{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程、直线与圆相切的充要条件（几何法 $d=R$）。
2. 核心方法：几何法（$d=R$）优于代数法（联立方程 $\Delta =0$），计算量更小。
3. 避坑指南：去掉绝对值符号时，切勿漏掉正负两种情况。选项 C 和 D 极为相似，注意负号的位置，看清后精准勾选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考解析几何的基础必考小题，源自解析几何初学阶段中关于直线与圆位置关系最基础的判定。
2. 结论推广：直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 相切的充要条件恒为 $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2009-重庆卷文-01 单-圆的方程
• 2010-天津卷文-14 填-圆的方程相切