2010-天津卷文-14 填-圆的方程相切

本题导读

考查圆的方程。圆心 $(-1,0)$，半径 $r=\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，方程 $(x+1{)}^2+y^2=2$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 已知圆 $C$ 的圆心是直线 $x-y+1=0$ 与 $x$ 轴的交点，且圆 $C$ 与直线 $x+y+3=0$ 相切，则圆 $C$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 令 $y=0$ 得 $x=-1$，圆心 $(-1,0)$。
2. $r=d=\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$。
3. 方程 $(x+1{)}^2+y^2=2$。

✅【答案】

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$(x+1{)}^2+y^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

在 $x-y+1=0$ 中令 $y=0$，得 $x=-1$， 故圆心为 $C(-1,0)$。 圆与直线 $x+y+3=0$ 相切，半径等于圆心到该直线的距离： $r=\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$ 圆 $C$ 的方程为 $(x+1{)}^2+y^2=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程与直线相切

核心方法：圆心由两线（直线与 $x$ 轴）交点确定，半径 $=$ 点到切线距离

避坑指南：圆心是 $x-y+1=0$ 与 $x$ 轴（$y=0$）的交点，联立得 $(-1,0)$，别把 $x$ 轴当成 $y$ 轴；距离公式分母 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相切条件代数化：$d=r$，是圆与直线位置关系的判据。

结论推广：圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，圆心半径一眼读出。

方法推广：过切点的半径垂直于切线，可配合几何法求切线长。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距
• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切