2008-陕西卷理-08 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的定义与标准方程、双曲线的几何性质（离心率）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 作倾斜角为 $30^{\circ }$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点.若 $M{F}_2$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为 ()

A. $\sqrt{6}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由 $M{F}_2\perp x$ 轴，结合 $F_1,F_2$ 在 $x$ 轴上，可知 $△F_1{F}_{2}M$ 是以 $\angle M{F}_2{F}_1$ 为直角的直角三角形。由于直线 $F_{1}M$ 的倾斜角为 $30^{\circ }$，即可得知 $\angle M{F}_1{F}_2=30^{\circ }$。
2. 第二步逻辑：在 $\text{Rt}△F_1{F}_{2}M$ 中，已知底边 $|F_1{F}_2|=2c$，利用 $30^{\circ }$ 角的三角函数可表示出斜边 $|F_{1}M|$ 和直角边 $|M{F}_2|$。最后代入双曲线定义 $|F_{1}M|-|M{F}_2|=2a$ 即可求得 $\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意，双曲线的焦点在 $x$ 轴上，且 $|F_1{F}_2|=2c$。 因为 $M{F}_2\perp x$ 轴，所以 $△F_1{F}_{2}M$ 是直角三角形，且 $\angle M{F}_2{F}_1=90^{\circ }$。 又直线 $F_{1}M$ 的倾斜角为 $30^{\circ }$，所以 $\angle M{F}_1{F}_2=30^{\circ }$。 在 $\text{Rt}△F_1{F}_{2}M$ 中： $|M{F}_2|=|F_1{F}_2|\cdot \tan 30^{\circ }=2c\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}c$ $|F_{1}M|=\frac{|F_1{F}_2|}{\cos 30^{\circ }}=\frac{2c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}c$ 根据双曲线的定义，由于点 $M$ 在双曲线的右支上，则有： $|F_{1}M|-|M{F}_2|=2a$ 将上述结果代入得： $\frac{4\sqrt{3}}{3}c-\frac{2\sqrt{3}}{3}c=2a⟹\frac{2\sqrt{3}}{3}c=2a⟹\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ 所以双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的几何定义、焦点三角形的边角运算、离心率的代数定义。
2. 核心方法：几何转化法。无需联立方程，直接通过几何图形中各线段的代数表示解决问题。
3. 避坑指南：通径长公式 $|M{F}_2|=\frac{b^2}{a}$ 也是一条路径，但直接使用特殊直角三角形的边角比例关系计算 $c$ 与 $a$ 的关系最为简洁，盲目使用通径公式反而会引入变量 $b$ 增加化简步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题出自圆锥曲线中关于焦点三角形的常规考查。利用特征垂直线与特殊倾斜角，将圆锥曲线的核心参数关系完美嵌入平面几何图形中。
2. 结论推广：若过左焦点 $F_1$ 倾斜角为 $\alpha$ 的直线交双曲线右支于 $M$，且 $M{F}_2\perp x$ 轴，则该双曲线的离心率通用表达式为 $e=\frac{1}{\cos \alpha -\sin \alpha }$（其中 $\alpha$ 为锐角）。本题代入 $\alpha =30^{\circ }$ 得 $e=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}+1$? 不对，注意上面是用特殊直角三角形：$|F_{1}M|-|M{F}_2|=\frac{2c}{\cos \alpha }-2c\tan \alpha =2a⟹e(\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha })=1⟹e=\frac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，完全吻合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-上海卷理-21 解-双曲线
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点