2009-上海卷理-19 解-二面角

本题导读

本题考查直三棱柱背景下的二面角求解。核心考查意图是考查空间想象能力和几何计算能力，要求学生能够熟练运用空间直角坐标系法（向量法）或通过三垂线定理构筑二面角（传统法）进行解答。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$A{A}_1=BC=AB=2,AB\perp BC$，求二面角 $B_1-A_{1}C-C_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

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• 方法一：空间向量法（推荐）

1. 建系：由于直三棱柱的侧棱垂直底面，且 $AB\perp BC$，可利用 $BA,BC,B{B}_1$ 两两垂直的特性建立空间直角坐标系。

2. 坐标计算：写出 $A_1,B_1,C,C_1$ 的坐标，进而求得向量 $\overrightarrow{B_1{A}_1},\overrightarrow{B_{1}C}$ 和 $\overrightarrow{C_1{A}_1},\overrightarrow{C_{1}C}$。

3. 法向量与夹角：分别计算平面 $B_1{A}_{1}C$ 和平面 $C_1{A}_{1}C$ 的法向量，通过法向量的夹角余弦值确定二面角大小。

• 方法二：传统几何法

1. 作角：取 $A_1{C}_1$ 中点 $D$，利用直棱柱及等腰直角三角形的对称性证明 $B_{1}D\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}CA$。
2. 转化：作 $DE\perp A_{1}C$ 于 $E$，连 $B_{1}E$，由三垂线定理可得 $B_{1}E\perp A_{1}C$，故 $\angle B_{1}ED$ 即为二面角的平面角。
3. 求解：在直角三角形 $△B_{1}DE$ 中求出正切值或余弦值，进而确定角度。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

方法一：空间向量法

1. 建立空间直角坐标系 在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$B{B}_1\perp$ 平面 $ABC$。 又 $AB\perp BC$，故以 $B$ 为原点，$\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{B{B}_1}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $B-xyz$。

2. 确定各点及向量坐标 由 $A{A}_1=BC=AB=2$ 可知： $A_1(0,2,2)$, $B_1(0,0,2)$, $C(2,0,0)$, $C_1(2,0,2)$。 则 $\overrightarrow{B_1{A}_1}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{B_{1}C}=(2,0,-2)$； $\overrightarrow{C_1{A}_1}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{C_{1}C}=(0,0,-2)$。

3. 计算两平面法向量

• 设平面 $B_1{A}_{1}C$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$， 由 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{B_1{A}_1}=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{B_{1}C}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2y_1=0\\ 2x_1-2z_1=0\end{array}$，取 $z_1=1$，得 ${\vec{n}}_1=(1,0,1)$。
• 设平面 $C_1{A}_{1}C$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$， 由 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{C_1{A}_1}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{C_{1}C}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-2x_2+2y_2=0\\ -2z_2=0\end{array}$，取 $x_2=1$，得 ${\vec{n}}_2=(1,1,0)$。

4. 计算二面角大小 设二面角 $B_1-A_{1}C-C_1$ 的大小为 $\theta$。由图可知该二面角为锐角： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|1\times 1+0\times 1+1\times 0|}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ 由于 $\theta \in [0,\pi ]$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

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方法二：传统几何法

1. 构筑二面角的平面角

• 因为 $△A_1{B}_1{C}_1$ 是等腰直角三角形，取 $A_1{C}_1$ 的中点 $D$，连接 $B_{1}D$，则 $B_{1}D\perp A_1{C}_1$。
• 在直三棱柱中，侧棱 $C_{1}C\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，故 $C_{1}C\perp B_{1}D$。
• 结合 $A_1{C}_1\cap C_{1}C=C_1$，可得 $B_{1}D\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}CA$。
• 过 $D$ 在平面 $A_1{C}_{1}CA$ 内作 $DE\perp A_{1}C$ 于 $E$，连接 $B_{1}E$。根据三垂线定理，得 $B_{1}E\perp A_{1}C$。
• 故 $\angle B_{1}ED$ 即为二面角 $B_1-A_{1}C-C_1$ 的平面角。

2. 计算几何量大小

• 在 $△A_1{B}_1{C}_1$ 中，$A_1{B}_1=B_1{C}_1=2$，故 $A_1{C}_1=2\sqrt{2}$，$B_{1}D=\sqrt{2}$。
• 在矩形 $A_1{C}_{1}CA$ 中，$A{A}_1=2$，$A_1{C}_1=2\sqrt{2}$，得 $A_{1}C=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{3}$。
• 在直角 $△A_1{C}_{1}C$ 中，作斜边上的高 $C_{1}H\perp A_{1}C$，则 $C_{1}H=\frac{A_1{C}_1\cdot C{C}_1}{A_{1}C}=\frac{2\sqrt{2}\times 2}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
• 因为 $DE\parallel C_{1}H$ 且 $D$ 为 $A_1{C}_1$ 的中点，所以 $DE=\frac{1}{2}{C}_{1}H=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

3. 求角 在直角 $△B_{1}DE$ 中（$\angle B_{1}DE=90^{\circ }$）： $\tan \angle B_{1}ED=\frac{B_{1}D}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\sqrt{3}$ 因 $\angle B_{1}ED$ 为锐角，所以 $\angle B_{1}ED=60^{\circ }$。 故二面角 $B_1-A_{1}C-C_1$ 的大小为 $60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱的线面垂直性质、二面角的平面角定义及利用空间向量快速求解。
2. 核心方法：

• 建系法：找准“两两垂直”的三条共点直线建系。
• 面积法与相似比：几何法中计算点到直线的距离 $DE$ 时，利用中位线及直角三角形面积法非常高效。

3. 避坑指南：使用向量法求得法向量的夹角余弦值为正数（$\cos \theta =\frac{1}{2}$）时，需根据图形判断该二面角是锐角还是钝角（若为钝角，则需取补角为 $120^{\circ }$）。本题中根据 $B_1$ 与 $C_1$ 在棱 $A_{1}C$ 同侧的几何特征易知其为锐角 $60^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题考查直棱柱的优良几何对称性，属于典型的教材常规立体几何大题的变式改编。在高等数学（解析几何）中，计算面面夹角往往通过半空间的法向量指向直接计算。
2. 结论推广： 若直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 满足 $\angle ABC=90^{\circ }$ 且 $AB=BC=b,A{A}_1=h$。 则二面角 $B_1-A_{1}C-C_1$ 的大小 $\theta$ 的余弦值满足以下通式公式： $\cos \theta =\frac{h}{\sqrt{2(b^2+h^2)}}$ （代入本题参数 $b=h=2$，可得 $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{2\times 8}}=\frac{1}{2}$，公式具有完美的普适性）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角