2008-湖北卷理-18 解-线面位置

本题导读

本题结合直三棱柱考查空间点、线、面的位置关系，重点考查面面垂直性质定理的应用，以及线面角与二面角的几何作法和大小比较。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，平面 $A_{1}BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$.

(1)求证：$AB\perp BC$；

(2)若直线 $AC$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成的角为 $\theta$，二面角 $A_1-BC-A$ 的大小为 $\phi$，试判断 $\theta$ 与 $\phi$ 的大小关系，并予以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：在侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 内作 $AH\perp A_{1}B$，利用面面垂直性质定理证出 $AH\perp$ 平面 $A_{1}BC$，进而得 $AH\perp BC$。再结合直三棱柱性质得 $A{A}_1\perp BC$，从而证出 $BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$，最终推出 $AB\perp BC$。
2. 第二问：由(1)中垂线确定 $A$ 在平面 $A_{1}BC$ 上的射影 $H$，从而找准线面角 $\theta =\angle ACH$；再利用线面垂直找到二面角的平面角 $\phi =\angle A_{1}BA$。在对应的直角三角形中利用正弦函数值及单调性比较大小。

✅【答案】

点击查看答案

因此sin 𝜃=𝑣√𝑐2 + 𝑣2 sin 𝜑< sin 𝜑,其中𝑐> 0

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 在侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 内，过点 $A$ 作 $AH\perp A_{1}B$，垂足为 $H$。 因为平面 $A_{1}BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$，且两平面交线为 $A_{1}B$， 又 $AH\subset$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 且 $AH\perp A_{1}B$， 所以由面面垂直的性质定理可得：$AH\perp$ 平面 $A_{1}BC$。 因为 $BC\subset$ 平面 $A_{1}BC$，所以 $AH\perp BC$。

因为在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$， 又 $BC\subset$ 底面 $ABC$，所以 $A{A}_1\perp BC$。 由于 $AH\cap A{A}_1=A$，且 $AH,A{A}_1\subset$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$， 所以 $BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$。 因为 $AB\subset$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$， 所以 $BC\perp AB$，即 $AB\perp BC$。

(2)解：$\theta <\phi$。证明如下： 由(1)可知，$AH\perp$ 平面 $A_{1}BC$，则点 $H$ 为点 $A$ 在平面 $A_{1}BC$ 上的正射影。 连接 $CH$，则 $CH$ 为直线 $AC$ 在平面 $A_{1}BC$ 上的射影。 故 $\angle ACH$ 为直线 $AC$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成的角，即 $\theta =\angle ACH$。 在 $\mathrm{Rt}△AHC$ 中，$\sin \theta =\frac{AH}{AC}$。

因为 $BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$，且 $AB,A_{1}B\subset$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$， 所以 $BC\perp AB$ 且 $BC\perp A_{1}B$。 故 $\angle A_{1}BA$ 为二面角 $A_1-BC-A$ 的平面角，即 $\phi =\angle A_{1}BA$。 在 $\mathrm{Rt}△A_{1}AB$ 中，$AH\perp A_{1}B$，可得 $\sin \phi =\frac{AH}{AB}$。

在底面 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，由于 $AB\perp BC$，则 $AC$ 为斜边，$AB$ 为直角边，故 $AC>AB$。 因此 $\frac{AH}{AC}<\frac{AH}{AB}$，即 $\sin \theta <\sin \phi$。 因为 $\theta ,\phi$ 均为直角三角形中的锐角，且正弦函数在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内单调递增， 所以 $\theta <\phi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直性质定理（作交线的垂线转化为线面垂直）；线面角与二面角平面角的唯一定位。
2. 核心方法：几何综合演绎法。本题(2)通过共享同一直角边 $AH$，将不同空间角的大小比较转化为直角三角形斜边的长短比较。
3. 避坑指南：在第(1)问中，不可直接主观断定 $BC\perp AB$，必须通过双线独立垂直（$BC\perp AH$ 和 $BC\perp A{A}_1$）严格论证线面垂直后方能下结论；第(2)问注意叙述线面角和二面角平面角时需要指明对应的直角三角形和垂直关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是立体几何大纲内关于柱体、垂直位置关系以及空间角性质的标准经典推导题，考查逻辑推理核心素养。
2. 结论推广: 在任意形如 $A_1-BC-A$ 具有直面垂直特征的侧面结构中，过点 $A$ 向斜面引斜线 $AC$，其与斜面所成角 $\theta$ 和侧面二面角 $\phi$ 恒满足几何不等式 $\sin \theta =\sin \phi \cdot \cos \angle BAC$，由于 $\cos \angle BAC<1$，故恒有 $\theta <\phi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-19 解-二面角
• 2009-北京卷理-16 解-二面角
• 2009-四川卷文-19 解-面面垂直二面角