2009-北京卷理-03 单-对数

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质、函数图象的平移变换。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 为了得到函数 $y=\lg \frac{x+3}{10}$ 的图象，只需把函数 $y=\lg x$ 的图象上所有的点 ()

A. 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度

B. 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度

C. 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度

D. 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对数的商的运算性质 $\lg \frac{M}{N}=\lg M-\lg N$ 将目标函数化简。
2. 观察自变量 $x$ 的变化和常数项的变化，依据平移变换法则得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：由对数的运算性质，可将目标函数进行如下变形： $y=\lg \frac{x+3}{10}=\lg (x+3)-\lg 10=\lg (x+3)-1$ 分析从基础函数 $y=\lg x$ 到目标函数 $y=\lg (x+3)-1$ 的变换过程：

1. 自变量由 $x$ 变为 $x+3$，符合“左加右减”原则，对应将图象向左平移 3 个单位长度；
2. 函数整体减 1，符合“上加下减”原则，对应将图象向下平移 1 个单位长度。 综上所述，只需把 $y=\lg x$ 的图象向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算律 $\lg \frac{A}{B}=\lg A-\lg B$；解析式平移规律。
2. 核心方法：自变量替换与常数项游走法。
3. 避坑指南：容易忽视分母上的 10，直接看成 $x$ 的平移而选错；或者混淆左加右减的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材对数函数图象变换章节的基础习题。
2. 结论推广: 对于任意函数 $y=f(x)$，变为 $y=f(x+h)+k$，当 $h>0,k>0$ 时，对应的图象变换为向左平移 $h$ 个单位，向上平移 $k$ 个单位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间