2008-重庆卷理-13 填-对数

本题导读

本题考查指数式与对数式的相互转化及化简，重点在于基本运算公式的熟练运用。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 已知 $a^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}(a>0)$，则 ${\log }_{\frac{2}{3}}a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将等式右侧的 $\frac{4}{9}$ 写成以 $\frac{2}{3}$ 为底的幂形式。
2. 利用幂的乘方法则求出未知数 $a$。
3. 将 $a$ 代入对数式，利用对数的运算性质进行化简。

✅【答案】

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$\{2,3\}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$， 两边同时取 $\frac{3}{2}$ 次方得： $a={\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]}^{\frac{3}{2}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2\times \frac{3}{2}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3$ 所以，${\log }_{\frac{2}{3}}a={\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=3$。 故答案为 3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分数指数幂的代数性质以及 ${\log }_b(b^x)=x$ 的对数恒等式。
2. 核心方法：统一底数法。
3. 避坑指南：在指数移项时注意指数变为其倒数，即 $(x^m{)}^n=x^{mn}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中指对数函数基础运算题型的变形。
2. 结论推广：若 $a^m=b^n$，则 ${\log }_{b}a=\frac{n}{m}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值
• 2009-北京卷理-03 单-对数
• 2009-北京卷理-13 填-指数