2009-北京卷理-19 解-几何证明

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、圆的切线方程。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$，右准线方程为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程；

(2) 设直线 $l$ 是圆 $O:x^2+y^2=2$ 上动点 $P(x_0,y_0)(x_0{y}_0\ne 0)$ 处的切线，$l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A,B$，证明 $\angle AOB$ 的大小为定值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：由离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$ 和右准线公式 $\frac{a^2}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 联立，求出 $a,c$，再由 $b^2=c^2-a^2$ 得到双曲线的标准方程。
2. 第二问：写出圆在点 $P$ 处的切线方程 $x_{0}x+y_{0}y=2$，并结合 $x_0^2+y_0^2=2$。将其与双曲线方程联立，消去 $y$ 得到关于 $x$ 的一元二次方程。利用韦达定理表示出 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$，进而计算 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。若数量积为 0，则 $\angle AOB$ 为直角。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $x^2-\frac{y^2}{2}=1$

(2) $\angle AOB=90^{\circ }$（定值）

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）由题意，双曲线 $C$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}⟹c=\sqrt{3}a$。 其右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹c=\sqrt{3}{a}^2$。 联立两式得： $\sqrt{3}a=\sqrt{3}{a}^2$。因为 $a>0$，解得 $a=1$。 从而 $c=\sqrt{3}$，则 $b^2=c^2-a^2=3-1=2$。 故双曲线 $C$ 的方程为 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$。

（2）证明：因为点 $P(x_0,y_0)$ 在圆 $O:x^2+y^2=2$ 上，所以 $x_0^2+y_0^2=2⟹y_0^2=2-x_0^2$。 圆 $O$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 的方程为： $x_{0}x+y_{0}y=2$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。将直线 $l$ 的方程变形为 $y=\frac{2-x_{0}x}{y_0}$，代入双曲线方程 $2x^2-y^2=2$ 中得： $2x^2-{\left(\frac{2-x_{0}x}{y_0}\right)}^2=2⟹2y_0^2{x}^2-(x_0^2{x}^2-4x_{0}x+4)=2y_0^2$ 整理为关于 $x$ 的一元二次方程： $(2y_0^2-x_0^2)x^2+4x_{0}x-4-2y_0^2=0$ 将 $y_0^2=2-x_0^2$ 代入上式系数中，化简得： $(4-3x_0^2)x^2+4x_{0}x+(2x_0^2-8)=0$ 由韦达定理可得： $x_1+x_2=\frac{-4x_0}{4-3x_0^2},x_1{x}_2=\frac{2x_0^2-8}{4-3x_0^2}$ 依据直线的特征，可计算两交点纵坐标的乘积： $y_1{y}_2=\frac{(2-x_0{x}_1)(2-x_0{x}_2)}{y_0^2}=\frac{4-2x_0(x_1+x_2)+x_0^2{x}_1{x}_2}{y_0^2}$ 将韦达定理代入分子中： $4-2x_0\left(\frac{-4x_0}{4-3x_0^2}\right)+x_0^2\left(\frac{2x_0^2-8}{4-3x_0^2}\right)=\frac{4(4-3x_0^2)+8x_0^2+2x_0^4-8x_0^2}{4-3x_0^2}=\frac{2x_0^4-12x_0^2+16}{4-3x_0^2}$ $=\frac{2(x_0^2-2)(x_0^2-4)}{4-3x_0^2}$ 因为 $y_0^2=2-x_0^2=-(x_0^2-2)$，所以： $y_1{y}_2=\frac{2(x_0^2-2)(x_0^2-4)}{-(x_0^2-2)(4-3x_0^2)}=\frac{2(4-x_0^2)}{4-3x_0^2}=\frac{8-2x_0^2}{4-3x_0^2}$ 计算向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的数量积： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{2x_0^2-8}{4-3x_0^2}+\frac{8-2x_0^2}{4-3x_0^2}=0$ 因为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，所以 $OA\perp OB$，即 $\angle AOB=90^{\circ }$。 故 $\angle AOB$ 的大小为定值 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线特征参数与几何性质；圆的切线代数方程公式；一元二次方程根与系数的关系的应用。
2. 核心方法：整体代入法。在处理含有 $x_0,y_0$ 的双变量时，及时利用 $x_0^2+y_0^2=2$ 进行消元，能够使最后的代数分式实现因式约分。
3. 避坑指南：联立后的多项式较为繁琐，计算 $y_1{y}_2$ 的分子时切忌盲目展开，保持因式分解的形态更易于与分母的 $y_0^2$ 进行约分消项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题依托于经典的“正交弦与二次曲线”模型。在高等几何中，若从原点向二次曲线引两条互相垂直的切线，其切点的几何连线或对应圆的割线具有特定的角度不变性。
2. 结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若直线 $l$ 始终与圆 $x^2+y^2=\frac{a^2{b}^2}{b^2-a^2}(b>a)$ 相切且与双曲线交于 $A,B$ 两点，则两交点对原点的张角 $\angle AOB$ 恒为 $90^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心