2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程

本题导读

本题考查直线的法向量，以及直线方程。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 若直线 $l$ 过点 $(3,4)$，且 $(1,2)$ 是它的一个法向量，则直线 $l$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：法向量 $(1,2)$ 即方向向量 $(2,-1)$
2. 步骤2：点法式或点斜式写方程

✅【答案】

点击查看答案

$x+2y-11=0$

✍【详细解析】

Abstract

法向量 $n=(1,2)$ 与直线垂直，对直线上任一点 $(x,y)$，向量 $(x-3,y-4)$ 与 $n$ 垂直：

$1\cdot (x-3)+2\cdot (y-4)=0$，即 $x+2y-11=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线的法向量与点法式方程

核心方法：直线上任一点与定点连线方向均与法向量垂直，点法式 $n\cdot ((x,y)-P_0)=0$

避坑指南：法向量 $(1,2)$ 对应斜率 $-\frac{1}{2}$（法向量与方向向量互换比），误把 $2$ 当斜率会写成 $y=2x-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线方程题与 2014-福建卷文-06、2013-新课标II卷理-12 同族（上海卷常考法向量表述）。

结论推广：推广：直线 $Ax+By+C=0$ 的一个法向量为 $(A,B)$，方向向量为 $(-B,A)$；三者可互相转化。

方法推广：法向量写直线：点法式一步到位 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$，再化一般式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-06 单-直线方程
• 2013-新课标II卷理-12 单-直线的截距与交点