2009-四川卷理-03 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数四则运算。重点考查复数乘方展开与复数除法分母实数化的常规操作。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 复数 $\frac{(1+2\mathrm{i}{)}^2}{3-4\mathrm{i}}$ 的值是 ()

A. -1　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $-\mathrm{i}$　　　　　　　D. $\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 先计算分子 $(1+2\mathrm{i}{)}^2$，利用完全平方公式展开。
2. 观察展开后的分子与分母的关系，寻找是否可以直接约分以简化运算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

首先，计算分子： $(1+2\mathrm{i}{)}^2=1+4\mathrm{i}+4{\mathrm{i}}^2=1+4\mathrm{i}-4=-3+4\mathrm{i}$

代入原式： $\frac{(1+2\mathrm{i}{)}^2}{3-4\mathrm{i}}=\frac{-3+4\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}=-\frac{3-4\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}=-1$

故正确选项为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘方运算，复数商的化简。
2. 核心方法：整体代换法。本题分子展开后为 $-3+4\mathrm{i}$，恰好与分母 $3-4\mathrm{i}$ 互为相反数，可直接提负号约分，免去分母实数化的繁琐步骤。
3. 避坑指南：做复数乘法时要时刻牢记 ${\mathrm{i}}^2=-1$，切忌在展开 $(1+2\mathrm{i}{)}^2$ 时遗漏 ${\mathrm{i}}^2$ 或将系数算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的复数基础计算题。设计者精妙地将分子设计为 $-3+4\mathrm{i}$，与分母 $3-4\mathrm{i}$ 形成巧合，考查学生对算式特征的敏锐观察力。
2. 结论推广：对于复数分式 $\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}$，若存在实数 $\lambda$ 使得 $a+b\mathrm{i}=\lambda (c+d\mathrm{i})$，则分式的值即为 $\lambda$。本题中 $\lambda =-1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算