2009-四川卷理-09 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的几何定义及距离和的最值问题。解题关键在于识别出已知直线与抛物线准线重合，进而利用抛物线定义实现“线段替换”以化简最值模型。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 已知直线 $l_1:4x-3y+6=0$ 和直线 $l_2:x=-1$，抛物线 $y^2=4x$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_1$ 和直线 $l_2$ 的距离之和的最小值是 ()

A. 2　　　　　　B. 3　　　　　　C. $\frac{11}{5}$　　　　　　D. $\frac{37}{16}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标和准线方程，发现直线 $l_2:x=-1$ 恰为该抛物线的准线。
2. 运用抛物线定义，将动点 $P$ 到准线 $l_2$ 的距离转化为点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离。
3. 将距离之和问题转化为点 $P$ 到直线 $l_1$ 的距离与到焦点 $F$ 的距离之和，根据垂线段最短原理求解最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对于抛物线 $y^2=4x$，可知 $2p=4⟹p=2$， 其焦点为 $F(1,0)$，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-1$。 注意到已知直线 $l_2:x=-1$ 恰好为抛物线的准线。

由抛物线定义，动点 $P$ 到准线 $l_2$ 的距离等于点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离，即 $d(P,l_2)=|PF|$。 因此，点 $P$ 到直线 $l_1$ 和直线 $l_2$ 的距离之和可变形为： $d(P,l_1)+d(P,l_2)=d(P,l_1)+|PF|$

根据平面几何原理，从焦点 $F$ 向直线 $l_1$ 引垂线，垂线段与抛物线的交点即为满足条件的点 $P$。 此时距离之和取得最小值，该最小值等于焦点 $F(1,0)$ 到直线 $l_1$ 的距离。 结合点到直线的距离公式计算得： $d_{\min }=\frac{|4\times 1-3\times 0+6|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$

故正确选项为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何定义（点到焦点距离等于到准线距离），点到直线距离公式。
2. 核心方法：利用抛物线定义实现“曲直转化”，避免直接设坐标进行复杂的解析化代数运算。
3. 避坑指南：审题时若未能敏锐发现 $l_2$ 是准线，盲目设点 $P\left(\frac{y^2}{4},y\right)$ 用代数函数求最值，会极大地增加运算量且易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自解析几何中经典的“阿波罗尼斯最值模型”在圆锥曲线中的变形应用。主要考查考生利用数形结合简化算理的综合能力。
2. 结论推广：一般地，若动点 $P$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，直线 $l$ 为其准线，另有一条不与准线平行的直线 $l_1$，则点 $P$ 到 $l_1$ 和 $l$ 的距离之和的最小值即为焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 到直线 $l_1$ 的距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点