2011-大纲卷理-10 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的方程与焦点坐标，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 已知抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，直线 $y=2x-4$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，则 $\cos \angle AFB=$ ()

A. $\frac{4}{5}$　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　C. $-\frac{3}{5}$　　　　　　D. $-\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从抛物线方程得出焦点 $F$ 的坐标。
2. 联立直线方程与抛物线方程，求出交点 $A,B$ 的坐标。
3. 写出向量 $\overrightarrow{FA}$ 和 $\overrightarrow{FB}$ 的坐标。
4. 应用数量积夹角公式 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{FB}|}$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的标准形式为 $y^2=2px$，其中 $2p=4⟹p=2$。 所以焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$。 联立直线与抛物线方程：

$$\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y^2=4x\end{array}$$

把 $y=2x-4$ 代入 $y^2=4x$，得 $(2x-4{)}^2=4x$。 化简为：$4x^2-16x+16=4x⟹4x^2-20x+16=0⟹x^2-5x+4=0$。 解得 $x_1=1$，$x_2=4$。 当 $x_1=1$ 时，$y_1=2(1)-4=-2$，记为点 $A(1,-2)$。 当 $x_2=4$ 时，$y_2=2(4)-4=4$，记为点 $B(4,4)$。 焦点为 $F(1,0)$，则向量： $\overrightarrow{FA}=(1-1,-2-0)=(0,-2)$， $\overrightarrow{FB}=(4-1,4-0)=(3,4)$。 计算两向量的数量积与模长： $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0\times 3+(-2)\times 4=-8$； $|\overrightarrow{FA}|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2}=2$； $|\overrightarrow{FB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。 因此： $\cos \angle AFB=\frac{\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{FB}|}=\frac{-8}{2\times 5}=-\frac{4}{5}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：解析几何交点求法、向量的数量积公式。
• 核心方法：坐标直接代入法与向量夹角公式。
• 避坑指南：直线不过原点，直接求交点比用韦达定理和焦半径公式更快捷；确保计算模长和数量积时坐标对应正确无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：圆锥曲线中典型的直线相交求夹角问题。
• 结论推广：若直线经过焦点 $F$（即弦 $AB$ 为焦点弦），则 $\overrightarrow{FA}$ 与 $\overrightarrow{FB}$ 反向，$\angle AFB=180^{\circ }$。本题直线不过焦点，但通过具体坐标可直接计算夹角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性