2009-四川卷理-15 填-立体几何

本题导读

本题考查正多面体（正三棱柱）中异面直线所成角的计算。可通过空间直角坐标系转化为向量的数量积，亦可通过平移构造成平面三角形求解。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的各条棱长都相等，$M$ 是侧棱 $C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $A{B}_1$ 和 $BM$ 所成的角的大小是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系，设棱长为 $2$，确定各顶点的坐标。
2. 计算方向向量 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 与 $\overrightarrow{BM}$ 的坐标。
3. 通过计算两向量的数量积，若为 0 则直接得出两异面直线垂直，角度为 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

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$90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

方法一：空间向量法 设正三棱柱的棱长为 $2$。 取 $AB$ 的中点为 $O$，以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OB}$ 的方向为 $x$ 轴正方向，过 $O$ 且平行于 $A{A}_1$ 的直线为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

由于底面 $△ABC$ 为边长为 $2$ 的正三角形，其高 $OC=\sqrt{3}$。 可确定以下各点坐标： $A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,\sqrt{3},0)$ $B_1(1,0,2),C_1(0,\sqrt{3},2)$

因为 $M$ 是侧棱 $C{C}_1$ 的中点，所以 $M$ 的坐标为 $(0,\sqrt{3},1)$。

计算方向向量： $\overrightarrow{A{B}_1}=(1-(-1),0-0,2-0)=(2,0,2)$ $\overrightarrow{BM}=(0-1,\sqrt{3}-0,1-0)=(-1,\sqrt{3},1)$

计算两向量的数量积： $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{BM}=2\times (-1)+0\times \sqrt{3}+2\times 1=-2+0+2=0$

因为两向量数量积为 0，所以 $\overrightarrow{A{B}_1}\perp \overrightarrow{BM}$。

方法二：几何平移法 设棱长为 $2$。将 $\overrightarrow{BM}$ 平移至以 $A$ 为起点，得 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BM}$。 由于 $B(1,0,0)$，平移后点 $E$ 坐标为 $(-2,\sqrt{3},1)$。 在 $△B_{1}AE$ 中： $|A{B}_1{|}^2=2^2+0^2+2^2=8$， $|AE{|}^2=(-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2+1^2=5$， $|B_{1}E{|}^2=(1-(-2){)}^2+(0-\sqrt{3}{)}^2+(2-1{)}^2=9+3+1=13$。 因为 $|A{B}_1{|}^2+|AE{|}^2=8+5=13=|B_{1}E{|}^2$， 由勾股定理逆定理可知 $\angle B_{1}AE=90^{\circ }$。

故异面直线 $A{B}_1$ 和 $BM$ 所成的角的大小是 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

答案为：$90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成的角，正三棱柱的空间几何特征。
2. 核心方法：坐标系建系法（建系法是解决异面直线角最无脑且不易错的万能方法）。
3. 避坑指南：异面直线所成角的取值范围为 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，若计算出余弦值为负值，需取其绝对值，转化为锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是经典的立体几何异面直线夹角求解问题，多见于各类模拟卷及高考压轴填空题，旨在训练学生的建系化简与空间想象力。
2. 结论推广：在各棱长均相等的直三棱柱（或正三棱柱）中，若 $M$ 是其中一条侧棱的中点，其对侧面各主对角线通常会呈现垂直关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心