2009-大纲卷I文-10 单-余弦对称中心

本题导读

考查余弦函数对称中心。$\cos$ 的零点即对称中心，$2x_0+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$，枚举 $k$ 使 $|\phi |$ 最小。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 如果函数 $y=3\cos (2x+\phi )$ 的图象关于点 $\left(\frac{4\pi }{3},0\right)$ 中心对称，那么 $|\phi |$ 的最小值为 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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1. 对称中心在图象上：$3\cos \left(\frac{8\pi }{3}+\phi \right)=0$，即 $\frac{8\pi }{3}+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。
2. $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{8\pi }{3}=k\pi -\frac{13\pi }{6}$，取整数 $k$ 使 $|\phi |$ 最小：$k=2$ 时 $\phi =-\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意 $\left(\frac{4\pi }{3},0\right)$ 在图象上，故 $2\times \frac{4\pi }{3}+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$）， $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{8\pi }{3}=k\pi -\frac{13\pi }{6}.$ 取 $k=2$ 得 $\phi =-\frac{\pi }{6}$，$|\phi |=\frac{\pi }{6}$ 为最小值，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦型函数的对称中心

核心方法：零点条件 + 整数枚举

避坑指南：$\cos$ 的零点横坐标即对称中心；$\phi =k\pi -\frac{13\pi }{6}$ 要枚举 $k$ 取 $|\phi |$ 最小者。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的对称中心与对称轴是图象性质高频题。

结论推广：$y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的对称中心满足 $\omega x_0+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

方法推广：“最值/最小值”型问题固定对参数枚举整数，比较后取最小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2012-新课标卷文-09 单-三角函数对称性
• 2013-湖北卷文-06 单-三角图象平移对称