2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦

本题导读

本题考查任意角三角函数的定义，以及二倍角公式（余弦）。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边在直线 $y=2x$ 上，则 $\cos 2\theta =$ ()

A. $-\frac{4}{5}$　　　　　　B. $-\frac{3}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：终边在 $y=2x$ 上取点 $(1,2)$
2. 步骤2：$\tan \theta =2$
3. 步骤3：$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

终边在直线 $y=2x$ 上时，取终边上的点 $(1,2)$，则 $\tan \theta =2$。由二倍角公式，

$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：终边定三角函数值；万能公式（余弦的二倍角切形式）

核心方法：终边取特殊点定 $\tan \theta$，直接套 $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$

避坑指南：终边在直线上含两个方向（$(1,2)$ 与 $(-1,-2)$），但 $\tan \theta$ 相同且 $\cos 2\theta$ 与 $\cos \theta$ 的符号无关，两种情况结果一致；选点时不必纠结象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：终边定值与二倍角综合题，与 2012 年江西卷文第 4 题、2012 年大纲卷文第 4 题同族。

结论推广：$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$、$\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$（万能公式）；终边在 $y=kx$ 上时 $\tan \theta =k$。

方法推广：终边在过原点直线上的三角函数题：取 $(1,k)$ 定 $\tan \theta$，再用万能公式或同角关系，避免讨论象限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-04 单-同角关系与二倍角正切
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号
• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值