2009-大纲卷I理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的乘除法运算、共轭复数的概念，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 已知 $\frac{\bar{z}}{1+\text{i}}=2+\text{i}$, 则复数 $z=$ ()

A. $-1+3\text{i}$　　　　　　B. $1-3\text{i}$　　　　　　C. $3+\text{i}$　　　　　　D. $3-\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由已知条件方程，两边同乘以 $1+\text{i}$ 求出共轭复数 $\bar{z}$。
2. 根据共轭复数的定义求出复数 $z$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{\bar{z}}{1+\text{i}}=2+\text{i}$ 可得： $\bar{z}=(2+\text{i})(1+\text{i})=2+2\text{i}+\text{i}+{\text{i}}^2$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$，所以： $\bar{z}=2+3\text{i}-1=1+3\text{i}$ 根据共轭复数的定义，得： $z=1-3\text{i}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数运算与共轭复数。
2. 核心方法：利用虚数单位 ${\text{i}}^2=-1$ 进行复数的乘法展开与化简。
3. 避坑指南：求出 $\bar{z}$ 后，切记要转化为它的共轭复数 $z$，不要盲目错选成 $\bar{z}$ 对应的选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材复数代数运算的基本课后习题。
2. 结论推广：若 $\frac{\bar{z}}{w_1}=w_2$，则 $z=\overline{w_1{w}_2}={\bar{w}}_1{\bar{w}}_2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算