2009-大纲卷I理-05 单-排列组合

本题导读

本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学. 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ()

A. 150 种　　　　B. 180 种　　　　C. 300 种　　　　D. 345 种

🔍【思路分析】

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1. 选出的 4 人中恰有 1 名女同学，这名女同学只能来自甲组或乙组，因此分为两类情况。
2. 第一类：女同学来自甲组，则甲组选 1 女 1 男，乙组选 2 男；
3. 第二类：女同学来自乙组，则甲组选 2 男，乙组选 1 女 1 男。
4. 分别计算两类情况的选法数，最后相加。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将问题分为两类情况讨论： 第一类，女同学来自甲组： 从甲组 3 名女同学中选 1 人，5 名男同学中选 1 人，有 ${\text{C}}_3^1\cdot {\text{C}}_5^1$ 种选法； 同时从乙组 6 名男同学中选 2 人，有 ${\text{C}}_6^2$ 种选法。 此时的选法共有：${\text{C}}_3^1\cdot {\text{C}}_5^1\cdot {\text{C}}_6^2=3\times 5\times 15=225$ 种。

第二类，女同学来自乙组： 从甲组 5 名男同学中选 2 人，有 ${\text{C}}_5^2$ 种选法； 同时从乙组 2 名女同学中选 1 人，6 名男同学中选 1 人，有 ${\text{C}}_2^1\cdot {\text{C}}_6^1$ 种选法。 此时的选法共有：${\text{C}}_5^2\cdot {\text{C}}_2^1\cdot {\text{C}}_6^1=10\times 2\times 6=120$ 种。

根据分类加法计数原理，总的不同选法共有：$225+120=345$ 种。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合应用题中的分类与分步计数原理。
2. 核心方法：理清元素的来源与去向，通过“不重不漏”的分类将复杂问题转化为基础组合问题。
3. 避坑指南：容易忽视“从甲、乙两组中各选出 2 名同学”的总体限制，导致计算每类情况时漏掉另一组的选法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的计数原理应用题，改编自人教A版选修2-3“两个计数原理”的课后习题。
2. 结论推广：若从含有 $M_1$ 男 $F_1$ 女的甲组中选 $m$ 人，含有 $M_2$ 男 $F_2$ 女的乙组中选 $n$ 人，要求恰有 $k$ 名女同学，其总选法可表示为 ${\sum }_i{\text{C}}_{F_1}^i\cdot {\text{C}}_{M_1}^{m-i}\cdot {\text{C}}_{F_2}^{k-i}\cdot {\text{C}}_{M_2}^{n-(k-i)}$（其中 $i$ 为可取到的合法的女性人数）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合