2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合

本题导读

本题考查古典概型，以及组合数计数。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动，则所选 3 位中有甲但没有乙的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：总选法 $C_{10}^3=120$
2. 步骤2：「有甲无乙」从其余 8 人中再选 2 人 $C_8^2=28$
3. 步骤3：概率 $\frac{7}{30}$

✅【答案】

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$\frac{7}{30}$

✍【详细解析】

Abstract

从 10 位同学中任选 3 位，共有 $C_{10}^3=120$ 种选法。 「有甲但没有乙」：甲入选，乙不入选，再从其余 8 人中选 2 人，共 $C_8^2=28$ 种。 故所求概率 $P=\frac{28}{120}=\frac{7}{30}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型概率公式 $P=\frac{m}{n}$；组合数 $C_n^m$ 的计算。

核心方法：定样本空间总数 → 定有利事件数 → 作比化简。

避坑指南：「有甲无乙」要求甲必在、乙必不在：甲固定后只需从其余 8 人（不含乙）中选 2 人；误把乙也留在候选里得 $C_9^2=36$ 是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「指定对象必含 / 必不含」是古典概型填空的固定套路，2011 浙江文 08、湖北文 13 的「至少」型与本题互为变式。

结论推广：若问「有甲有乙」的概率则为 $\frac{C_8^1}{C_{10}^3}=\frac{1}{15}$；「有甲」的概率为 $\frac{C_9^2}{C_{10}^3}=\frac{3}{10}$，三者对比可巩固计数模型。

方法推广：带「必含某人」条件时先把它锁定，样本再从剩余人群取；带「必不含」时从总数中直接剔除该人。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少
• 2011-湖北卷文-13 填-古典概型至少
• 2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型