2009-大纲卷I理-09 单-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义、导数在切线方程中的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 已知直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=\ln (x+a)$ 相切，则 $a$ 的值为 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. -1　　　　　　　D. -2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设切点坐标为 $(x_0,y_0)$，求出曲线的导函数，利用切线斜率为 1 建立关于 $x_0$ 和 $a$ 的方程。
2. 利用切点同时满足直线方程和曲线方程，联立方程组消元求解 $a$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=\ln (x+a)$ 相切于点 $(x_0,y_0)$。 对曲线求导得： $y^{\prime }=\frac{1}{x+a}$ 因为切线斜率为 1，所以在切点处有： $\frac{1}{x_0+a}=1⟹x_0+a=1⟹x_0=1-a$ 将 $x_0+a=1$ 代入曲线方程得： $y_0=\ln 1=0$ 将切点坐标 $(1-a,0)$ 代入直线方程 $y=x+1$ 得： $0=(1-a)+1⟹a=2$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切点处的导函数值等于切线斜率）。
2. 核心方法：设出切点坐标 $(x_0,y_0)$，利用“导数等于斜率”和“切点在曲线上”这两个核心条件列方程组。
3. 避坑指南：切不可直接将直线与对数式联立并令 $\Delta =0$，利用判别式性质求相切仅适用于二次曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中导数几何意义的基本应用，属于典型的“已知切线反求曲线参数”的常规题型。
2. 结论推广：若直线 $y=kx+m$ 与曲线 $y=\ln (x+a)$ 相切，则切点横坐标为 $x_0=\frac{1}{k}-a$，由 $k{x}_0+m=\ln (x_0+a)$ 可推广得到参数间的通用关系式为 $1-ka+m=\ln \left(\frac{1}{k}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-08 单-导数综合
• 2011-北京卷理-18 解-导数
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式