2009-大纲卷I理-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_9=72$，则 $a_2+a_4+a_9=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列的前 $n$ 项和公式将 $S_9$ 转化为用项 $a_5$ 表示的代数式，从而求出 $a_5$ 的值。
2. 将目标式 $a_2+a_4+a_9$ 用首项 $a_1$ 和公差 $d$ 展开，发现其恰好可以凑成关于 $a_5$ 的倍数关系。
3. 整体代入 $a_5$ 的值即可求得结果。

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$24$

✍【详细解析】

Abstract

根据等差数列的求和公式与性质，有： $S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=72⟹a_5=8$ 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则目标式可变形为： $a_2+a_4+a_9=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+8d)$ $=3a_1+12d=3(a_1+4d)=3a_5$ 将 $a_5=8$ 代入上式得： $a_2+a_4+a_9=3\times 8=24$ 答案：$24$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列中 $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$ 的性质以及对称项的几何平均/算术平均性质。
2. 核心方法：整体代换法，避免解出 $a_1$ 和 $d$ 的具体值，直接建立已知结构与未知结构间的联系。
3. 避坑指南：目标式 $a_2+a_4+a_9$ 的下标不构成等差数列，无法直接用单项等差中项代替，需拆项组合化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：此题属于等差数列基本性质的应用，是传统高考数列小题的经典命题视角。
2. 结论推广：在等差数列中，若已知 $S_{2k-1}$，则对于任意满足下标和 $\sum i=m(k)$ 的项之和，均可以通过提取公因式转化为 $m\cdot a_k$ 的形式求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和