2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及前 $n$ 项和的差与连续项和的关系。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 设 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_1=1$，公差 $d=2$，$S_{k+2}-S_k=24$，则 $k=$ ()

A. $8$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$S_{k+2}-S_k=a_{k+1}+a_{k+2}$
2. 步骤2：用 $a_n=2n-1$ 建方程

✅【答案】

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D$k=5$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_1=1$，$d=2$ 得 $a_n=2n-1$。

$S_{k+2}-S_k=a_{k+1}+a_{k+2}=[2(k+1)-1]+[2(k+2)-1]=4k+4=24$，解得 $k=5$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项公式；$S_n-S_m=a_{m+1}+\cdots +a_n$ 的连续片段和

核心方法：片段和化连续项和：$S_{k+2}-S_k$ 直接写成两项之和，避免算 $S$ 再相减

避坑指南：$S_{k+2}-S_k$ 是第 $k+1$、$k+2$ 两项之和，不是 $a_{k+2}-a_k$；下标错位是本题最常见的失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列片段和问题与 2013-新课标II卷理-16（等差数列前n项和）、2025-上海卷-03（等差数列前n项和）同族。

结论推广：推广：等比数列中 $S_{k+2}-S_k=a_{k+1}+a_{k+2}$ 同样成立；一般地 $S_n-S_m$ 只与下标 $m+1$ 到 $n$ 的项有关，与前面项无关。

方法推广：片段和小题：见到 $S$ 的差立刻翻译成”连续几项和”，再用通项建方程，不必展开 $S_n$ 公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-16 填-等差数列前n项和
• 2025-上海卷-03 填-等差数列前n项和