2009-大纲卷II理-01 单-复数

本题导读

本题主要考查复数的代数四则运算，核心在于通过分母实数化将复数化为代数标准形式。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） $\frac{10\text{i}}{2-\text{i}}=$ ()

A. $-2+4\text{i}$　　　　　B. $-2-4\text{i}$　　　　　C. $2+4\text{i}$　　　　　D. $2-4\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察分式形式的复数，需将分子、分母同乘以分母的共轭复数进行分母实数化。

2. 结合 ${\text{i}}^2=-1$ 进行化简，求得最终形式并对照选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{10\text{i}}{2-\text{i}}=\frac{10\text{i}(2+\text{i})}{(2-\text{i})(2+\text{i})}=\frac{20\text{i}+10{\text{i}}^2}{4-{\text{i}}^2}=\frac{-10+20\text{i}}{5}=-2+4\text{i}$. 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算法则。

2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数。

3. 避坑指南：注意 ${\text{i}}^2=-1$ 引起的符号变换，避免分子展开时出现计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高考传统的基础复数运算题，直接考查考生的基本运算能力。

2. 结论推广：对于 $\frac{a\text{i}}{b-c\text{i}}$ 型复数，化简通式为 $\frac{-ac+ab\text{i}}{b^2+c^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算