2009-大纲卷II理-02 单-集合

本题导读

本题主要考查分式不等式的求解以及集合的交集运算，意在测试考生的基本运算与集合语言转换能力。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 设集合 $A=\{x|x>3\}$, $B=\left\{x|\frac{x-1}{x-4}<0\right\}$, 则 $A\cap B=$ ()

A. $\varnothing$　　　　　B. $(3,4)$　　　　　C. $(-2,1)$　　　　　D. $(4,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解分式不等式化简集合 $B$ 的取值范围。

2. 利用交集的定义，寻找集合 $A$ 与集合 $B$ 的公共部分。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{x-1}{x-4}<0$ 可得 $(x-1)(x-4)<0$，解得 $1<x<4$， 所以 $B=\{x|1<x<4\}$. 因为 $A=\{x|x>3\}$， 所以 $A\cap B=\{x|3<x<4\}=(3,4)$. 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的同解变形及集合的交集运算。

2. 核心方法：分式不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}<0⟺f(x)g(x)<0$ 且 $g(x)\ne 0$。

3. 避坑指南：注意开闭区间边界的包含关系，避免漏掉或多算端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中不等式与集合的基本练习题，是高考卷中必考的开篇集合小题。

2. 结论推广：一般地，若 $A=(a,+\infty )$，$B=(b,c)$，且 $b<a<c$，则 $A\cap B=(a,c)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式