2009-大纲卷II理-04 单-导数

本题导读

本题主要考查导数的几何意义以及曲线上某点处切线方程的求法，考查基本的求导运算与直线方程的转化。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 曲线 $y=\frac{x}{2x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 ()

A. $x-y-2=0$　　　　　　　　　　　　　　B. $x+y-2=0$

C. $x+4y-5=0$　　　　　　　　　　　　　D. $x-4y-5=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对函数 $y=\frac{x}{2x-1}$ 求导，利用商的求导法则得到导函数。

2. 将切点横坐标 $x=1$ 代入导函数，求出切线斜率 $k$。

3. 利用点斜式方程写出切线方程，并化简为一般式。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

对 $y=\frac{x}{2x-1}$ 求导得： $y^{\prime }=\frac{(x{)}^{\prime }(2x-1)-x(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=\frac{2x-1-2x}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$. 将 $x=1$ 代入导函数中，得切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=\frac{-1}{(2\times 1-1{)}^2}=-1$. 曲线在点 $(1,1)$ 处的切线方程为： $y-1=-1(x-1)$， 化简得 $x+y-2=0$. 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切点处的导数即为切线斜率）。

2. 核心方法：商的求导法则 ${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$。

3. 避坑指南：注意“在点 $(1,1)$ 处”与“过点 $(1,1)$”的区别，本题明确 $(1,1)$ 为切点；求导时注意分母及复合部分的求导符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为导数几何意义的经典题型，结合了分式函数（反比例函数平移形式）的求导。

2. 结论推广：对于函数 $y=\frac{x}{ax-b}$，其在点 $\left(x_0,y_0\right)$ 处的切线斜率为 $k=\frac{-b}{(a{x}_0-b{)}^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-08 单-导数综合
• 2011-北京卷理-18 解-导数
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式