2009-大纲卷II理-05 单-立体几何

本题导读

本题主要考查正四棱柱中异面直线所成角的计算，核心在于通过平移转化为同平面夹角或建立空间直角坐标系利用向量夹角公式求解。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $A{A}_1=2AB$, $E$ 为 $A{A}_1$ 中点, 则异面直线 $BE$ 与 $C{D}_1$ 所成的角的余弦值为 ()

A. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$　　　　　　D. $\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标。

2. 求出向量 $\overrightarrow{BE}$ 与 $\overrightarrow{C{D}_1}$ 的坐标，利用向量夹角公式计算其余弦值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点， $DA,DC,D{D}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 设 $AB=1$，则 $A{A}_1=2$. 由题意可得各点坐标为： $B(1,1,0),C(0,1,0),D_1(0,0,2)$. 因为 $E$ 为 $A{A}_1$ 的中点，所以 $E(1,0,1)$. 则有： $\overrightarrow{BE}=(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1)$, $\overrightarrow{C{D}_1}=(0,0,2)-(0,1,0)=(0,-1,2)$. 设异面直线 $BE$ 与 $C{D}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{C{D}_1}|}{|\overrightarrow{BE}|\cdot |\overrightarrow{C{D}_1}|}=\frac{|0\times 0+(-1)\times (-1)+1\times 2|}{\sqrt{0^2+(-1{)}^2+1^2}\times \sqrt{0^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用空间向量求解异面直线所成的角。

2. 核心方法：构建空间直角坐标系，利用公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 求解。

3. 避坑指南：异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，因此向量夹角余弦值若为负数，必须取绝对值转化为正数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中空间向量与立体几何章节的典型例题，主要考查空间想象能力与坐标运算能力。

2. 结论推广：在底面边长为 $a$，高为 $2a$ 的正四棱柱中，侧棱中点与底面顶点连线跟侧面正方形对角线所成角的余弦值恒为 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心