2009-大纲卷II理-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和与项之间的对应关系，核心考查利用等差数列的对称性质将求值式整体化简。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $a_5=5a_3$, 则 $\frac{S_9}{S_5}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列的求和性质，将奇数项和 $S_9$ 和 $S_5$ 转化为其中间项的表达形式。

2. 结合已知条件 $a_5=5a_3$ 实施整体代换，消去未知项得出常数结果。

✅【答案】

点击查看答案

$24$

✍【详细解析】

Abstract

根据等差数列的性质，前 $n$ 项和满足中项性质（当 $n$ 为奇数时）： $S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5$, $S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=5a_3$. 因此，所求式子可化为： $\frac{S_9}{S_5}=\frac{9a_5}{5a_3}$. 又已知 $a_5=5a_3$，代入上式得： $\frac{S_9}{S_5}=\frac{9\times 5a_3}{5a_3}=9$.

填：9

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和公式的性质变形 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$。

2. 核心方法：性质法（比基本量首项公差法更为快捷）。

3. 避坑指南：虽然用基本量法（列出含 $a_1$ 和 $d$ 的方程）也能解出答案，但计算量相对较大，极易在求比值时因运算繁琐而犯错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中等差数列前 $n$ 项和性质的推论，属于高频常考的技巧型小题。

2. 结论推广：在等差数列中，若已知 $a_{2k-1}=m\cdot a_k$，则 $\frac{S_{4k-3}}{S_{2k-1}}=\frac{(4k-3)m}{2k-1}$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和