2009-大纲卷II理-15 填-线面位置

本题导读

本题考查立体几何中球的截面性质以及线面角的应用，核心是通过空间立体关系抽象出直角三角形，进而求出球的半径。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 设 $OA$ 是球 $O$ 的半径, $M$ 是 $OA$ 的中点, 过 $M$ 且与 $OA$ 成 45° 角的平面截球 $O$ 的表面得到圆 $C$. 若圆 $C$ 的面积等于 $\frac{7\pi }{4}$, 则球 $O$ 的表面积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设球半径为 $R$，表示出 $OM=\frac{R}{2}$。

2. 明确“过 $M$ 且与 $OA$ 成 45° 角的平面”这一条件在直角三角形中的几何投影，确定球心 $O$ 到截面圆心 $O^{\prime }$ 的距离 $d$。

3. 利用球的截面性质 $R^2=r^2+d^2$ 建立关于 $R$ 的方程，求出 $R^2$ 后利用表面积公式计算。

✅【答案】

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$20\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设球 $O$ 的半径为 $R$，则 $OA=R$。因为 $M$ 是 $OA$ 的中点，所以 $OM=\frac{R}{2}$。 设过点 $M$ 的截面圆心为 $O^{\prime }$，则 $O{O}^{\prime }\perp$ 截面 $C$，且 $O^{\prime }M$ 在截面内。 根据线面角的定义，半径 $OA$ 与截面所成的角为 $\angle OM{O}^{\prime }=45^{\circ }$。 在 $\text{Rt}△O{O}^{\prime }M$ 中，球心到截面的距离 $d=O{O}^{\prime }=OM\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{R}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}R$。 设截面圆 $C$ 的半径为 $r$，由球的性质得 $r^2=R^2-d^2=R^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{4}R\right)}^2=\frac{7}{8}{R}^2$。 因为圆 $C$ 的面积为 $\pi r^2=\frac{7\pi }{4}$，所以 $\frac{7}{8}\pi R^2=\frac{7\pi }{4}⟹R^2=2$。 球 $O$ 的表面积为 $S=4\pi R^2=4\pi \times 2=8\pi$。

填：$8\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的性质（球心到截面的距离、截面半径、球半径构成直角三角形）及空间线面角的转换。

2. 核心方法：构建以球心、截面圆心、已知特征点为顶点的直角三角形进行定量计算。

3. 避坑指南：极易混淆线面角在三角形中的位置，误将 $\angle MO{O}^{\prime }$ 当作 45°，导致距离 $d$ 计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于立体几何中经典的空间旋转体与截面交轨问题，重点考查空间想象力与基本代数方程的结合。

2. 结论推广：若半径中点截面与半径成 $\theta$ 角，则截面圆面积 $S_{\text{圆}}=\pi R^2(1-\frac{1}{4}{\sin }^2\theta )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$20\pi$

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积
• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积