2013-大纲卷文-16 填-球的表面积

本题导读

本题考查球的表面积，以及球的截面圆性质。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径，$OK=\frac{3}{2}$，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^{\circ }$，则球 $O$ 的表面积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设球半径 $R$，公共弦中点 $H$，半弦长 $\frac{R}{2}$。
2. 大圆内 $OH=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$；小圆内 $KH=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{R^2-3}$（小圆半径平方 $=R^2-\frac{9}{4}$）。
3. $\angle OHK=60^{\circ }$，余弦定理：$\frac{9}{4}=O{H}^2+K{H}^2-OH\cdot KH$，解出 $R=2$。

✅【答案】

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$16\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设球 $O$ 的半径为 $R$，两圆公共弦为 $AB$，其中点为 $H$，则 $AB=R$，$AH=\frac{R}{2}$。 在大圆所在平面内，$OH\perp AB$，故 $OH=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R.$ 小圆半径的平方 $r_K^2=R^2-O{K}^2=R^2-\frac{9}{4}$。在小圆所在平面内，$KH\perp AB$，故 $KH=\sqrt{r_K^2-\frac{R^2}{4}}=\sqrt{R^2-3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$ $OH\perp AB$、$KH\perp AB$，所以二面角的平面角 $\angle OHK=60^{\circ }$。在 $△OHK$ 中由余弦定理： $O{K}^2=O{H}^2+K{H}^2-2OH\cdot KH\cos 60^{\circ }.$ 代入： $\frac{9}{4}=\frac{3}{4}{R}^2+\frac{3}{4}(R^2-3)-\frac{3}{4}R\sqrt{R^2-3}.$ 化简得 $R\sqrt{R^2-3}=2(R^2-3).$ 由 $R^2>3$ 两边同除 $\sqrt{R^2-3}$，得 $R=2\sqrt{R^2-3}$，即 $R^2=4$。 所以球的表面积为 $4\pi R^2=16\pi .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面与大圆小圆

核心方法：公共弦中点 $H$ 处 $OH\perp$ 弦、$KH\perp$ 弦，$\angle OHK=60^{\circ }$，用余弦定理解 $R$

避坑指南：两圆平面所成的二面角就在 $\angle OHK$ 处量出（$OH$、$KH$ 都垂直于公共弦）；解出 $R\sqrt{R^2-3}=2(R^2-3)$ 后两边同除 $\sqrt{R^2-3}$ 要先说明它非零。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的表面积与截面圆（全国卷常考）。

结论推广：球半径 $R$、截面圆半径 $r$ 与球心到截面距离 $d$：$r^2=R^2-d^2$；弦心距模型：半弦长、弦心距、圆半径构成直角三角形。

方法推广：多圆截面问题三步：定公共弦与其中点 $H$ → 在两个圆平面内分别算 $OH$、$KH$ → 用二面角（余弦定理）建立关于 $R$ 的方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球
• 2013年大纲版理-16