2009-大纲卷II理-19 解-等比数列

本题导读

本题主要考查递推数列中前 $n$ 项和与通项公式的转化关系。核心在于通过相邻两项作差消除 $S_n$，再通过构造辅助数列的方法求解通项公式。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 已知 $a_1=1,S_{n+1}=4a_n+2$.

(1) 设 $b_n=a_{n+1}-2a_n$, 证明数列 $\{b_n\}$ 是等比数列;

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：写出 $S_{n+2}$ 与 $a_{n+1}$ 的关系式，与已知条件 $S_{n+1}=4a_n+2$ 作差消去 $S_n$，得到关于 $a_n$ 的三项递推式，代入 $b_n$ 变形证明。

2. 第二问：根据第一问求出 $b_n$ 的通项，得到一阶线性不齐次递推式 $a_{n+1}-2a_n=f(n)$，两边同除以 $2^{n+1}$ 构造出等差数列，进而求得 $a_n$。

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$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=(3n-1)\cdot 2^{n-2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 已知 $S_{n+1}=4a_n+2$ ① 当 $n\ge 1$ 时，有 $S_{n+2}=4a_{n+1}+2$ ② ② - ① 得：$S_{n+2}-S_{n+1}=4a_{n+1}-4a_n$。 根据 $S_{n+2}-S_{n+1}=a_{n+2}$，得 $a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$。 所以 $b_{n+1}=a_{n+2}-2a_{n+1}=(4a_{n+1}-4a_n)-2a_{n+1}=2a_{n+1}-4a_n=2(a_{n+1}-2a_n)=2b_n$。 在 ① 中令 $n=1$，得 $S_2=4a_1+2$。 又 $S_2=a_1+a_2$，且 $a_1=1$， 所以 $1+a_2=4\times 1+2⟹a_2=5$。 此时 $b_1=a_2-2a_1=5-2\times 1=3\ne 0$。 故数列 $\{b_n\}$ 是以 3 为首项， 2 为公比的等比数列。

(2) 解： 由(1)可知，$b_n=3\cdot 2^{n-1}$。 即 $a_{n+1}-2a_n=3\cdot 2^{n-1}$。 两边同除以 $2^{n+1}$ 得： $\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{3\cdot 2^{n-1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{4}$。 设 $c_n=\frac{a_n}{2^n}$，则有 $c_{n+1}-c_n=\frac{3}{4}$。 所以数列 $\{c_n\}$ 是以 $c_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{1}{2}$ 为首项， $\frac{3}{4}$ 为公差的等差数列。 则 $c_n=\frac{1}{2}+(n-1)\times \frac{3}{4}=\frac{3}{4}n-\frac{1}{4}=\frac{3n-1}{4}$。 故 $a_n=c_n\cdot 2^n=\frac{3n-1}{4}\cdot 2^n=(3n-1)\cdot 2^{n-2}$。 综上所述， $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=(3n-1)\cdot 2^{n-2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ ($n\ge 2$) 进行消和，以及利用同除以 $q^{n+1}$ 转化递推关系。

2. 核心方法：两阶差分法消去求和符号；“除以幂指数”构造等差数列。

3. 避坑指南：第(1)问中求首项 $b_1$ 时，必须通过 $S_2=a_1+a_2$ 准确算得 $a_2$，直接根据通项公式证明等比时要注明首项不为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中等差、等比数列的递推定义延伸，属于高考数列解答题的标准难度题目。

2. 结论推广：形如 $a_{n+1}-p{a}_n=k\cdot q^n$ ($p\ne q$) 的递推式，通用方法是两边同除以 $p^{n+1}$ 或 $q^{n+1}$ 转化为新等差或等比数列求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件