2011-北京卷文-12 填-等比数列求和

本题导读

本题考查等比数列的通项与公比，以及前 $n$ 项和公式。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{2}$，$a_4=-4$，则公比 $q=$ $\underline{}$；$a_1+a_2+\cdots +a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$q^3=\frac{a_4}{a_1}=-8\Rightarrow q=-2$
2. 步骤2：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

✅【答案】

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$q=-2$；$S_n=\frac{1-(-2{)}^n}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

$a_4=a_1{q}^3\Rightarrow q^3=\frac{-4}{\frac{1}{2}}=-8$，故 $q=-2$。

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}\left[1-(-2{)}^n\right]}{1+2}=\frac{1-(-2{)}^n}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列公比的求法；求和公式（$q\ne 1$）

核心方法：相邻比例关系 $a_4/a_1=q^3$ 开三次方；求和公式分母 $1-q$

避坑指南：$q=-2$ 为负：奇偶项符号交替，$(-2{)}^n$ 的括号不能丢；求和分母是 $1-(-2)=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列求和与 2013-北京卷文-11（等比数列求和）、2013-大纲卷文-07（等比数列求和）同族。

结论推广：推广：$a_m=a_1{q}^{m-1}$ 对任意下标成立；负公比的等比数列前 $n$ 项和 $S_n$ 的正负随 $n$ 奇偶摆动。

方法推广：等比数列填空双空题：先求 $q$ 再代求和公式；公比为负时务必保留 $(-2{)}^n$ 的完整形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和
• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和