2009-天津卷理-08 单-不等式

本题导读

本题考查分段函数的单调性分析，通过将函数值不等式转化为自变量不等式来求解参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+4x,& x\ge 0\\ 4x-x^2,& x<0\end{array}$.若 $f(2-a^2)>f(a)$，则实数 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,-1)\cup (2,+\infty )$　B. $(-1,2)$　C. $(-2,1)$　D. $(-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 分析分段函数 $f(x)$ 在各区间段上的单调性，并检查分界点 $x=0$ 处的连续性，确定 $f(x)$ 在整个定义域 $\mathbf{R}$ 上的单调性。

2. 利用单调性直接去掉外层函数符号 $f$，将 $f(2-a^2)>f(a)$ 转化为 $2-a^2>a$，解一元二次不等式即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=x^2+4x$，对称轴为 $x=-2$，所以在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，且 $f(0)=0$； 当 $x<0$ 时，$f(x)=4x-x^2=-(x-2{)}^2+4$，对称轴为 $x=2$，所以在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，且 $x\to 0^{-}--$ 时 $f(x)\to 0$。 由于两段函数均单调递增，且在分界点 $x=0$ 处连续，因此 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是单调递增函数。 由 $f(2-a^2)>f(a)$ 可得： $2-a^2>a⟹a^2+a-2<0⟹(a+2)(a-1)<0$ 解得 $-2<a<1$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的整体单调性判定及单调性在解不等式中的应用。

2. 核心方法：单调性转化法。

3. 避坑指南：在判断分段函数的整体单调性时，切忌只看各段内部的单调性，必须验证分界点处的函数值大小连接关系（即左极限、右极限与该点函数值的大小关系），防止出现断层处的“伪单调”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由常规二次函数在局部区间上的单调性拼接变形而来，重点考查抽象性质的具象化应用。

2. 结论推广: 对于任意在定义域上严格单调递增的函数 $f(x)$，不等式 $f(x_1)>f(x_2)$ 与 $x_1>x_2$ 完全等价。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明