2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明

本题导读

本题考查利用导数研究单调区间。核心在于分类讨论法、放缩法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 已知 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=4x^3-2ax+a$.

(1)求 $f(x)$ 的单调区间；

(2)证明：当 $0⩽x⩽1$ 时，$f(x)+|2-a|>0$.

🔍【思路分析】

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（1）$a⩽0$ 时恒增；$a>0$ 时增区间为 $\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{a}{6}}\right]$、$\left[\sqrt{\frac{a}{6}},+\infty \right)$，减区间为 $\left[-\sqrt{\frac{a}{6}},\sqrt{\frac{a}{6}}\right]$；（2）对 $x$ 分 $[0,\frac{1}{2}]$ 与 $[\frac{1}{2},1]$ 两段，各按 $a$ 与 $2$ 的大小放缩为 $4x^3-4x+2>0$ 等正量。

✅【答案】

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(1)$a⩽0$ 时增区间为 $(-\infty ,+\infty )$；$a>0$ 时增区间为 $\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{a}{6}}\right]$ 与 $\left[\sqrt{\frac{a}{6}},+\infty \right)$，减区间为 $\left[-\sqrt{\frac{a}{6}},\sqrt{\frac{a}{6}}\right]$。(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=12x^2-2a$。

当 $a⩽0$ 时，$f^{\prime }(x)=12x^2-2a⩾0$（至多在 $x=0$ 处取等），故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增，增区间为 $(-\infty ,+\infty )$。

当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\pm \sqrt{\frac{a}{6}}$；$f^{\prime }(x)>0⟺|x|>\sqrt{\frac{a}{6}}$。

故增区间为 $\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{a}{6}}\right]$、$\left[\sqrt{\frac{a}{6}},+\infty \right)$，减区间为 $\left[-\sqrt{\frac{a}{6}},\sqrt{\frac{a}{6}}\right]$。

（2）当 $0⩽x⩽\frac{1}{2}$ 时，$1-2x⩾0$，$f(x)+|2-a|=4x^3+a(1-2x)+|2-a|$。

若 $a⩽2$：上式 $=4x^3+2-2ax$。当 $a⩽0$ 时 $4x^3⩾0$ 且 $2-2ax⩾2$，故大于 $0$；当 $0<a⩽2$ 时不小于 $4x^3+2-2x$，该式在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 上递减，最小值 $\frac{1}{2}-1+2=\frac{3}{2}>0$。

若 $a>2$：$a(1-2x)⩾2(1-2x)$，$|2-a|=a-2⩾0$，故上式 $⩾4x^3+2-4x$，该式在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 上递减，最小值 $\frac{1}{2}-2+2=\frac{1}{2}>0$。

当 $\frac{1}{2}⩽x⩽1$ 时，$2x-1⩾0$，$f(x)+|2-a|=4x^3-a(2x-1)+|2-a|$。

若 $a⩽0$：$-a(2x-1)⩾0$ 且 $|2-a|>0$，上式 $>0$。

若 $0<a⩽2$：上式 $=4x^3+2-2ax$，关于 $a$ 递减，故不小于 $a=2$ 时的值 $4x^3-4x+2$；记 $h(x)=4x^3-4x+2$，$h^{\prime }(x)=12x^2-4$，在 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取最小值 $2-\frac{8\sqrt{3}}{9}>0$。

若 $a>2$：上式 $=4x^3+a(2-2x)-2⩾4x^3+2(2-2x)-2=4x^3-4x+2>0$（同上）。

综上，当 $0⩽x⩽1$ 时恒有 $f(x)+|2-a|>0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与含参函数的单调区间；分域放缩证明不等式

核心方法：单调区间按 $a$ 与 $0$ 的大小分类；不等式证明先按 $x$ 与 $\frac{1}{2}$ 的大小分域，把 $f(x)$ 写成 $4x^3\pm a(\cdot )$，再按 $a$ 与 $2$ 的大小逐层放缩

避坑指南：临界点 $x=\frac{1}{2}$ 来自 $1-2x$ 变号，分域后每段内 $a(\cdot )$ 的符号才确定；$h(x)=4x^3-4x+2$ 的最小值 $2-\frac{8\sqrt{3}}{9}\approx 0.46$，是本题放缩的”底仓”，务必说明它为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数含参导数题，与 2013 年广东卷文第 21 题、2012 年山东卷文第 22 题同族。

结论推广：${\mathrm{e}}^x$ 型之外，三次函数 $f(x)=4x^3+a(1-2x)$ 的证明常化为”函数最小值为正”与”线性放缩”两条路径。

方法推广：含参不等式证明的分域次序：先按自变量分域（使结构变号点显形），再按参数临界值分档，每档落到同一个正量上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-21 解-三次函数闭区间最值
• 2012-山东卷文-22 解-导数单调性与不等式证明
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值