2009-天津卷理-15 填-向量

本题导读

本题结合平面向量的单位向量形式考查特殊四边形的判定与面积计算，解题核心在于通过向量共线的几何意义识别出四边形为菱形。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 在四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(1,1)$，$\frac{1}{|\overrightarrow{BA}|}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{|\overrightarrow{BC}|}\overrightarrow{BC}=\frac{\sqrt{3}}{|\overrightarrow{BD}|}\overrightarrow{BD}$，则四边形 $ABCD$ 的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ 可知四边形 $ABCD$ 为平行四边形，且边长 $AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

2. 左式 $\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$ 表示两邻边方向上单位向量的和，其指向 $\angle ABC$ 的角平分线方向；右式与对角线向量 $\overrightarrow{BD}$ 共线，说明对角线平分内角，从而判定平行四边形 $ABCD$ 为菱形。

3. 利用单位向量夹角公式或平行四边形定则求出临界夹角 $\angle ABC$，进而由面积公式 $S=AB\cdot BC\cdot \sin \angle ABC$ 算出答案。

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(1,1)$，所以四边形 $ABCD$ 为平行四边形，且 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 设 $\overrightarrow{BA}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 方向上的单位向量分别为 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$，则已知条件可化为： ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2=\frac{\sqrt{3}}{|\overrightarrow{BD}|}\overrightarrow{BD}$ 由于 ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ 的方向垂直平分 ${\vec{e}}_1$ 与 ${\vec{e}}_2$ 的夹角，即指向 $\angle ABC$ 的平分线，而它又与对角线 $\overrightarrow{BD}$ 共线， 根据菱形的判定定理（对角线平分内角的平行四边形是菱形），平行四边形 $ABCD$ 为菱形。 所以 $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$。 设 ${\vec{e}}_1$ 与 ${\vec{e}}_2$ 的夹角为 $\theta$（即 $\angle ABC=\theta$），对上式两边平方得： $|{\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2{|}^2=(\sqrt{3}{)}^2⟹1+1+2\cos \theta =3⟹\cos \theta =\frac{1}{2}$ 因为 $\theta \in (0,\pi )$，所以 $\theta =60^{\circ }$。 故四边形 $ABCD$ 的面积为： $S=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ 答案为：$\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单位向量的几何意义，特殊四边形（菱形）的向量表示法。

2. 核心方法：两边平方转化为数量积与夹角问题。

3. 避坑指南：不易联想到将 $\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$ 视作单位向量进行几何性质推导；在计算菱形面积时，注意不要遗漏夹角的正弦值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题来源于平面向量基本定理以及特殊四边形性质的交汇，利用向量的特殊组合（单位向量相加）来刻画角平分线是高考的经典设计。

2. 结论推广: 在任意平面四边形中，若 $\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=\lambda \overrightarrow{BD}$（$\lambda >0$），且 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，则该四边形必为菱形，其邻角 $\theta$ 满足 $2\cos \frac{\theta }{2}=\lambda |\overrightarrow{BD}|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心