2009-天津卷理-18 解-古典概型

本题导读

本题考查概率论与数理统计的基础知识，重点考查离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，以及古典概型中事件可能性的分类讨论与计数。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品．从这 10 件产品中任取 3 件，求：

(1) 取出的 3 件产品中一等品件数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：明确随机变量 $X$ 的所有可能取值，利用超几何分布概率公式依次求出各取值对应的概率，列出分布列表格，最后由数学期望公式求出 $E(X)$。

2. 第二问：将“一等品件数多于二等品件数”转化为取出的（一等品，二等品，三等品）件数组合 $(X,Y,Z)$，穷举所有满足 $X>Y$ 且 $X+Y+Z=3$ 的非负整数情况，利用分类加法计数原理求出符合条件的总频数，进而求得概率。

✅【答案】

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$（1）P(X=k)=Ck3C3-k7C3$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 从 10 件产品中任取 3 件的总取法共有 ${\text{C}}_{10}^3=120$ 种。 随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$。 $P(X=0)=\frac{{\text{C}}_3^0\cdot {\text{C}}_7^3}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}$ $P(X=1)=\frac{{\text{C}}_3^1\cdot {\text{C}}_7^2}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{3\times 21}{120}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$ $P(X=2)=\frac{{\text{C}}_3^2\cdot {\text{C}}_7^1}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{3\times 7}{120}=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}$ $P(X=3)=\frac{{\text{C}}_3^3\cdot {\text{C}}_7^0}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{1}{120}$ 所以 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

数学期望为： $E(X)=0\times \frac{35}{120}+1\times \frac{63}{120}+2\times \frac{21}{120}+3\times \frac{1}{120}=\frac{108}{120}=\frac{9}{10}$

(2) 设取出一等品、二等品、三等品的件数分别为 $X,Y,Z$，则 $X+Y+Z=3$。 要使一等品件数多于二等品件数，即 $X>Y$，满足条件的非负整数基本事件分类如下： ① $X=3,Y=0,Z=0$：包含的取法有 ${\text{C}}_3^3\cdot {\text{C}}_4^0\cdot {\text{C}}_3^0=1$ 种； ② $X=2,Y=1,Z=0$：包含的取法有 ${\text{C}}_3^2\cdot {\text{C}}_4^1\cdot {\text{C}}_3^0=12$ 种； ③ $X=2,Y=0,Z=1$：包含的取法有 ${\text{C}}_3^2\cdot {\text{C}}_4^0\cdot {\text{C}}_3^1=9$ 种； ④ $X=1,Y=0,Z=2$：包含的取法有 ${\text{C}}_3^1\cdot {\text{C}}_4^0\cdot {\text{C}}_3^2=9$ 种。 符合条件的基本事件总数为 $1+12+9+9=31$ 种。 故取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 $P=\frac{31}{120}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：超几何分布模型的识别、分布列的规范书写、古典概型的分类计数。

2. 核心方法：利用列表或公式穷举满足特定不等式条件的样本点。

3. 避坑指南：计算出分布列后，务必将各概率求和检验是否等于 1，以防计算失误；第二问在分类时极易漏掉三等品参与调配的情况（如 $X=2,Y=0,Z=1$ 以及 $X=1,Y=0,Z=2$），必须保证总件数始终为 3。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 题目源于概率论中摸球/抽样模型的经典实际应用，是教材中不放回抽样（超几何分布）的直接延伸。

2. 结论推广: 设有三种元素各 $N_1,N_2,N_3$ 个，从中任取 $n$ 个，某两类元素数量的不等关系概率均可通过划分多元超几何分布的显式组合数之和来求解，即 $P={\sum }_{x>y}\frac{{\text{C}}_{N_1}^x{\text{C}}_{N_2}^y{\text{C}}_{N_3}^{n-x-y}}{{\text{C}}_{N_1+N_2+N_3}^n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-17 解-期望