2011-北京卷理-12 填-期望

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及正难则反。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 用数字 2, 3 组成四位数，且数字 2, 3 至少都出现一次，这样的四位数共有$\underline{}$个.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 计算由数字 2, 3 组成的所有四位数总数（每个位置有 2 种选择）。
2. 扣除只由 2 组成和只由 3 组成的极端情况。

✅【答案】

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14

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 由 2, 3 组成四位数，千位、百位、十位、个位各有 2 种选择（可为 2 或 3）， 总数为：$2\times 2\times 2\times 2=2^4=16$ 个。

2. 不符合条件（2, 3 未至少出现一次）的情况为：

• 全由 2 组成的四位数（2222），共 1 个；
• 全由 3 组成的四位数（3333），共 1 个。

3. 满足条件的四位数共有： $16-1-1=14\text{ 个}$

答案为：14

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分步乘法计数原理与间接法求排列组合。
• 核心方法：间接法（总数 - 不合题意数）。
• 避坑指南：切勿漏减“全为 2”或“全为 3”的两种特殊情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自排列组合有限制的计数问题。
• 结论推广：用 $m$ 个不同元素组成 $n$ 位数且每个元素至少出现一次的组数可用容斥原理求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 1984-全国卷理-11
• 1988-全国卷理-14 单-组合计数