2009-天津卷理-19 解-二面角

本题导读

本题是一道传统的立体几何综合大题，全面考查了空间点、线、面的位置关系。前两问使用传统的几何法证明与求解更为直观简捷，最后一问涉及二面角，采用空间向量坐标法可以精准高效地解决。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 如图，在五面体 $ABCDEF$ 中，$FA\perp$ 平面 $ABCD$，$AD\parallel BC\parallel FE$，$AB\perp AD$，$M$ 为 $EC$ 的中点，$AF=AB=BC=FE=\frac{1}{2}AD$.

(1) 求异面直线 $BF$ 与 $DE$ 所成的角的大小；

(2) 证明平面 $AMD\perp$ 平面 $CDE$；

(3) 求二面角 $A-CD-E$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：观察到 $FE\parallel BC$ 且 $FE=BC$，可判定四边形 $BCEF$ 为平行四边形，从而得到 $BF\parallel CE$。将异面直线所成的角平移转化为 $△CDE$ 的内角 $\angle CED$。

2. 第二问：利用勾股定理分别计算 $△CDE$ 和 $△ACE$ 的边长，发现它们均为等边三角形。利用等腰（等边）三角形“三线合一”的性质得到 $AM\perp CE$ 且 $DM\perp CE$，从而证出线面垂直与面面垂直。

3. 第三问：以 $A$ 为原点，分别以 $AD,AB,AF$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，求出平面 $ACD$ 与平面 $CDE$ 的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值。

✅【答案】

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（1）异面直线𝐵𝐹与𝐷𝐸所成的角为60∘.（2）平面𝐴𝑀𝐷⟂平面𝐶𝐷𝐸.（3）二面角𝐴−𝐶𝐷−𝐸的余弦值为√33.

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $AF=AB=BC=FE=1$，则 $AD=2$。

(1) 因为 $FE\parallel BC$ 且 $FE=BC=1$， 所以四边形 $BCEF$ 为平行四边形，故 $BF\parallel CE$。 则异面直线 $BF$ 与 $DE$ 所成的角即为直线 $CE$ 与 $DE$ 所成的角（或其补角）。 在 $△CDE$ 中，由已知易得： $CD=\sqrt{B{C}^2+(AD-BC{)}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$， $DE=\sqrt{F{E}^2+A{F}^2+(AD-FE{)}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$， $CE=\sqrt{B{C}^2+A{F}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 所以 $△CDE$ 为等边三角形，$\angle CED=60^{\circ }$。 即异面直线 $BF$ 与 $DE$ 所成的角的大小为 $60^{\circ }$。

(2) 在 $△ACE$ 中， $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$， $AE=\sqrt{A{F}^2+F{E}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$， 又 $CE=\sqrt{2}$，所以 $△ACE$ 亦为等边三角形。 因为 $M$ 是 $EC$ 的中点， 所以 $AM\perp CE$，且 $DM\perp CE$。 又 $AM\cap DM=M$ 且 $AM,DM\subset$ 平面 $AMD$， 所以 $CE\perp$ 平面 $AMD$。 因为 $CE\subset$ 平面 $CDE$， 所以平面 $AMD\perp$ 平面 $CDE$。

(3) 依题意，以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 则各点坐标为： $A(0,0,0)$, $D(2,0,0)$, $C(1,1,0)$, $E(1,0,1)$。 易知平面 $ACD$（即平面 $ABCD$）的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$。 设平面 $CDE$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{CD}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{CE}=(0,-1,1)$。 由 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CD}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x-y=0\\ -y+z=0\end{array}$， 令 $y=1$，解得 ${\vec{n}}_2=(1,1,1)$。 设二面角 $A-CD-E$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =|\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩|=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{1}{1\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 所以二面角 $A-CD-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间平行与垂直关系的转化（线线平行 $\to$ 线线交角；线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 面面垂直）。

2. 核心方法：几何法与空间向量法的灵活混搭。第一、二问通过寻找等边三角形的几何特征可直接得出结论，比建系计算更快捷；第三问使用法向量求二面角则能有效规避传统几何法作二面角平面角的繁琐步骤。

3. 避坑指南：利用法向量夹角求二面角时，得到的余弦值正负号由法向量的指向决定，最终必须结合空间图形的直观呈现（锐角或钝角）进行符号校正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由教材中“直棱柱与特殊棱锥的组合体”演变而来，去掉多余棱线形成五面体，重在考查空间想象能力和推理论证能力。

2. 结论推广: 若空间两个等腰三角形 $△ABC$ 与 $△DBC$ 拥有公共底边 $BC$，且它们在底边上的中线分别为 $AM$ 和 $DM$，则必有 $BC\perp$ 平面 $AMD$，进而包含 $BC$ 的任意平面均与平面 $AMD$ 垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程