2009-安徽卷文-15 填-四面体命题

本题导读

考查四面体命题。①相对棱异面、④面积向量之和为零保证任一面小于其余三面之和、⑤三条中点连线共点于顶点和的 $\frac{1}{4}$ 处，填 ①④⑤。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 对于四面体 $ABCD$，下列命题正确的是$\underline{}$.（写出所有正确命题的编号） ①相对棱 $AB$ 与 $CD$ 所在的直线异面； ②由顶点 $A$ 作四面体的高，其垂足是 $△BCD$ 的三条高线的交点； ③若分别作 $△ABC$ 和 $△ABD$ 的边 $AB$ 上的高，则这两条高所在直线异面； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.

🔍【思路分析】

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1. ① 对：相对棱不共面。
2. ② 错：垂足是 $A$ 的射影，一般不是 $△BCD$ 的垂心（可举坐标反例）。
3. ③ 错：两条高可以相交于 $A$（如直角四面体反例）。
4. ④ 对：四个面的面积向量（外法向）之和为零，由三角不等式严格成立。
5. ⑤ 对：三条中点连线都以 $\frac{1}{4}(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D})$ 为中点。

✅【答案】

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①④⑤

✍【详细解析】

Abstract

命题①正确：四面体的两条相对棱不共面，所以它们所在的直线异面。 命题②错误：顶点 $A$ 到平面 $BCD$ 的垂足只是 $A$ 在平面 $BCD$ 上的射影，一般不必是三角形 $BCD$ 的垂心。例如取 $B=(0,0,0)$，$C=(4,0,0)$，$D=(0,3,0)$，$A=(1,1,1)$，则三角形 $BCD$ 的垂心为 $B$，而 $A$ 到平面 $BCD$ 的垂足为 $(1,1,0)$，二者不重合。 命题③错误：例如取 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(0,1,0)$，$D=(0,0,1)$，此时三角形 $ABC$ 和 $ABD$ 中，边 $AB$ 上的高都以 $A$ 为垂足，两条高所在直线分别为 $AC$ 和 $AD$，它们相交于 $A$，不是异面直线。 命题④正确：设四个面的面积向量分别为 ${\mathbf{S}}_1$，${\mathbf{S}}_2$，${\mathbf{S}}_3$，${\mathbf{S}}_4$，取向均为四面体的外法向，则有 ${\mathbf{S}}_1+{\mathbf{S}}_2+{\mathbf{S}}_3+{\mathbf{S}}_4=0$。因而 ${\mathbf{S}}_4=-({\mathbf{S}}_1+{\mathbf{S}}_2+{\mathbf{S}}_3)$，由三角不等式得 $S_4⩽S_1+S_2+S_3$。非退化四面体的三个相邻面外法向不共线，三角不等式取严格不等式，故任意一个面的面积都小于另外三个面的面积之和。 命题⑤正确：设四个顶点的位置向量为 $\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$，$\mathbf{C}$，$\mathbf{D}$。连接 $AB$，$CD$ 的中点时，所得线段的中点为 $\frac{1}{4}(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D})$；连接 $AC$，$BD$ 或 $AD$，$BC$ 的中点时，所得线段的中点也都是该点。所以三条线段相交于一点。 因此正确命题的编号为①④⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四面体的结构性质

核心方法：逐条证明或举反例

避坑指南：④的证明用面积向量：外法向面积向量之和为零，再由三角不等式得严格不等式；⑤三条中点连线共用中点 $\frac{1}{4}(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多选填空的综合命题题要一条一条落实。

结论推广：正例、反例都要具体：坐标反例是最省力的构造方式。

方法推广：“垂足是垂心”只在特殊四面体（如对棱相等）成立，一般不成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-12 填-空间命题真假
• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线
• 2011-北京卷文-17 解-四面体中点四边形